Решение системы линейных уравнений

Дана система m линейных уравнений с n неизвестными

Решением этой системы называется совокупность n чисел  которые будучи подставлены вместо неизвестных в уравнения, обращают эти уравнения в тождества. Система уравнений называется совместной,

если она имеет хотя бы одно решение  

Если же система не имеет ни одного решения, то она называется несовместной.

Совместная система называется определенной, если она имеет только одно решение, и неопределенной, если она имеет больше одного решения.

Для нахождения решения системы линейных уравнений используют:

 1.Метод Крамера; 2. Метод Гаусса; 3. Матричный метод. Рассмотрим каждый из этих методов.

Метод Крамера

Пусть мы имеем систему линейных уравнений с тремя неизвестными

Вычислим определитель этой системы

1. Если определитель этой системы  то система имеет единственное решение, которое находится по формулам Крамера ₃ , , , где

дополнительные определители

2.Если  или  или система решения не имеет.

3.Если  система имеет бесконечно много решений.

ПРИМЕР 1. Решить систему уравнений

Т.к. определитель  система имеет единственное решение.

_{3 3 3}

Метод Гаусса

Метод Гаусса заключается в последовательном исключении неизвестных. Поясним смысл этого метода на системе уравнений с тремя неизвестными:

Допустим, что  (если , то изменим порядок уравнений, выбрав первым такое уравнение, в котором коэффициент при x не равен нулю.)

1 шаг: делим уравнение  на , умножаем полученное уравнение на  и вычитаем из  ; затем умножаем на  и вычитаем из ( ). В результате 1 шага приходим к системе:

Причем получается из  по следующим формулам:

2 шаг: поступаем с уравнениями ,   точно так же, как с уравнениями , , ( )  и т.д. В итоге исходная система преобразуется к так называемому ступенчатому виду:

Из преобразованной системы все неизвестные определяются последовательно без труда. Практически удобнее приводить к ступенчатому виду не саму систему уравнений, а матрицу из коэффициентов при неизвестных и свободных членов.

ПРИМЕР 2. Решить систему уравнений

Преобразуем матрицу в эквивалентную, поменяв местами 1, 2-ю строки

 ~

Первые три столбца это коэффициенты при неизвестных, четвертый столбец - свободные члены данной системы, пятый - контрольный столбец, каждый элемент которого есть сумма четырех элементов данной строки.

Вычитаем из 2,3-ей строк 1-ю строку, умноженную соответственно на 3 и на 4, а затем в полученной матрице последнюю строку разделим на -11.

 ~

Система уравнений приняла треугольный вид:

Она имеет единственное решение. Из последнего уравнения имеем z=2; подставляя это значение во второе уравнение, получаем y=3 и, наконец, из первого уравнения находим x=-1.

Матричный метод

При использовании матричного метода для решения системы уравнений пользуются обратной матрицей. Этим методом можно воспользоваться только в том случае, если система имеет единственное решение.

ПРИМЕР 3. Решить систему уравнений

Перепишем систему в виде AX=B, где

Решение матричного уравнения имеет вид  Найдем

Вычислим алгебраические дополнения элементов этого определителя:

Таким образом,  откуда

 Следовательно,

x=2, y=3, z=-2.

ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА