Геометрическая интерпретация устойчивости по Ляпунову

Геометрическую интерпретацию устойчивости по Ляпунову удобно продемонстрировать на динамической системе второго порядка

                                                         (6.6)

Представим, что операторы  имеют следующий вид

                                                                         (6.7)

Характеристическое уравнение (6.6) с учетом (6.7) будет следующим

.                                          (6.8)

Пусть , тогда корни уравнения (7.8) будут комплексно-сопряженными с отрицательной вещественной частью, т.е. , где  (  всегда положительно). Движения (фазовые траектории), характерные для таких корней представлены на рисунке 6.1. Выполняются условия Ляпунова (6.4) и (6.5) - все фазовые траектории сходятся к состоянию равновесия. Такое состояние равновесия называется «устойчивый фокус» (асимптотически устойчивое состояние равновесия).

Примечание. Названия состояниям равновесия для динамических систем второго порядка дал А.Пуанкаре. В настоящее время существует классификация состояний равновесия (особых точек) вплоть до систем четвертого порядка.

Рисунок 6.1 - Состояние равновесия типа «устойчивый фокус»

Пусть , тогда корни уравнения (6.8) будут комплексно-сопряженными с положительной вещественной частью, т.е. , где . Движения (фазовые траектории), характерные для таких корней представлены на рисунке 6.2. Не выполняется условие Ляпунова (6.4) - все фазовые траектории направлены от состояния равновесия. Такое состояние равновесия называется «неустойчивый фокус» (неустойчивое состояние равновесия).

Рисунок 6.2 - Состояние равновесия типа «неустойчивый фокус»

Пусть , тогда корни уравнения (7.8) будут вещественными отрицательными, т.е. , . Фазовые траектории, характерные для таких корней представлены на рисунке 6.3. Выполняются условия Ляпунова (6.4) и (6.5) - все фазовые траектории сходятся к состоянию равновесия. Такое состояние равновесия называется «устойчивый узел» (асимптотически устойчивое состояние равновесия).

Рисунок 6.3 - Состояние равновесия типа «устойчивый узел»

Пусть , тогда корни уравнения (6.8) будут вещественными положительными, т.е. , . Фазовые траектории, характерные для таких корней, представлены на рисунке 6.4. Не выполняется условие Ляпунова (6.4) - все фазовые траектории направлены от состояния равновесия. Такое состояние равновесия называется «неустойчивый узел» (неустойчивое состояние равновесия).

Пусть , тогда корни уравнения (6.8) будут вещественными разными (один – положительный, другой – отрицательный), т.е. , . Фазовые траектории, характерные для таких корней, представлены на рисунке 6.5. Не выполняется условие Ляпунова (6.4) - все фазовые траектории в конечном итоге направлены от состояния равновесия. Такое состояние равновесия имеет название «седло» (неустойчивое состояние равновесия).

Рисунок 6.4 - Состояние равновесия типа «неустойчивый узел»

Рисунок 6.5 - Состояние равновесия типа «седло»

Пусть , тогда корни уравнения (6.8) будут комплексно-сопряженными с нулевой вещественной частью, т.е. . Фазовые траектории, характерные для таких корней, представлены на рисунке 6.6. Выполняется условие Ляпунова (6.4) и не выполняется условие (6.5) – движения по фазовым траекториям осуществляются вокруг состояния равновесия (не приближаясь и не удаляясь). Такое состояние равновесия называется «центр» (устойчивое по Ляпунову состояние равновесия).

Рисунок 6.6 - Состояние равновесия типа «центр»