Понятие устойчивости в формулировке А.М.Ляпунова

Лекция 10. Понятие устойчивости. Работа А.М.Ляпунова «Общая задача об устойчивости движения»

Основы современной теории устойчивости были заложены великим русским математиком и механиком Александром Михайловичем Ляпуновым (1857 - 1918) в его знаменитой докторской диссертации «Общая задача об устойчивости движения», впервые опубликованной в 1892 году. До сих пор идеи этой работы питают математиков и позволяют получать ценные новые результаты в области теории устойчивости.

Понятие устойчивости в формулировке А.М.Ляпунова

Максвелл, Вышнеградский и Стодола не дали точного определения устойчивости. Под устойчивостью систем автоматического регулирования (машина-двигатель + регулятор) в практическом смысле понималось следующее: 1) при отсутствии заметного внешнего воздействия (нагрузка на машину заметно не изменяется) регулируемая величина (частота вращения) либо не изменяется, либо изменяется незначительно, оставаясь при этом в некоторых допустимых пределах; 2) при применении к системе внешнего воздействия (изменение нагрузки) регулируемая величина через некоторое время принимает новое (в случае статического регулятора) значение и в дальнейшем не изменяет своего значения, либо изменяет незначительно, оставаясь в допустимых пределах (в случае применения астатического регулятора регулируемая величина должна вернуться к прежнему значению); 3) при снятии внешнего воздействия (возвращения к прежней нагрузке) регулируемая величина принимает прежнее значение.

Под неустойчивостью (опять же в практическом смысле) понималось: при отсутствии заметного внешнего воздействия регулируемая величина самопроизвольно изменяется, достигая недопустимых для эксплуатации значений. Всему этому требовалось дать строгое определение, что и было сделано Ляпуновым.

Рассмотрим автономную (отсутствуют внешние возмущающие воздействия, но существуют ненулевые начальные возмущения – начальные отклонения переменных состояния от равновесия), динамическую систему

                                       (6.1)

Уравнения (6.1) описывают возмущенные движения системы (в отличие от представленных моделей Максвелла, Вышнеградского и Стодолы данная модель предполагается нелинейной).

Однако у системы есть невозмущенное движение (состояние равновесия), которое математически записывается в следующем виде

.                           (6.2)

Состояние равновесия может быть устойчивым или неустойчивым. Ляпунов дает следующее строгое (научное) понятие устойчивости (неустойчивости) состояния равновесия (6.2) динамической системы (6.1):

    1) невозмущенное движение (состояние равновесия) называется устойчивым (по Ляпунову) относительно переменных , если для любого заданного положительного числа , как бы мало оно ни было, можно подобрать другое положительное число , зависящее от , такое, чтобы при возмущениях, удовлетворяющих неравенствам

                (6.3)

соответствующее этим возмущениям решение (движение)  для любого  удовлетворяло бы неравенствам

;                    (6.4)

2) если же упомянутое число  подобрать невозможно, то состояние равновесия (6.2) неустойчиво;

 3) если можно подобрать упомянутое число  такое, чтобы из условий (6.3) при выполнении (6.4) дополнительно выполнялись бы условия

,           (6.5)

то невозмущенное движение называется асимптотически устойчивым.

Примечание. Фразу: «…положительное число , зависящее от …» следует понимать, как то, что положительное число  всегда меньше положительного числа  как бы мало оно (число ) ни было.