I. Особенности машинного синтеза

Учитывая то обстоятельство, что конкурирующие варианты системы S отличаются друг от друга структурой, алгоритмами поведения, параметрами, число таких вариантов достаточно велико. Поэтому при синтезе оптимального варианта системы S_опт особенно важно минимизировать затраты ресурсов на получение в результате моделирования характеристик каждого варианта системы. Исходя из этих особенностей, при синтезе системы S обработку и анализ результатов моделирования каждого варианта системы S следует рассматривать не автономно, а в их тесной взаимосвязи. Очевидно, что задача синтеза оптимального варианта моделируемой системы S_опт должна быть уже поставлена при планировании машинного эксперимента с моделью М_м.

В предыдущей главе было показано, что искусственная организация статистической зависимости между выходными характеристиками сравниваемых вариантов S₁ и S₂ системы дает выигрыш в точности оценки средних значений, вероятностей и дисперсии при положительно коррелированных критериях q₁ и q₂. Корреляция между критериями q₁ и q₂ возникает в силу того, что случайные векторы

,

,

описывающие воздействие внешней среды Е на варианты S₁ и S₂ системы, имеют общие составляющие ,в то время как составляющие  и  статистически независимы.

Если через  обозначить фиксированные значения составляющих, то условные средние значения q₁ и q₂будут такими:

,

,

т.е. являются функциями переменных .

Рассмотрим особенности обработки результатов моделирования, когда сравниваемые в ходе проведения имитационных экспериментов полные средние значения критериев q₁ и q₂ примут вид:

;

,

где ;  – совместная плотность вероятностей составляющих v₁, ..., v_k.

Ковариация

.

Достаточным условием неотрицательности ковариации, дающим выигрыш в оценке разности средних, является одинаковая упорядоченность условных средних ,  относительно векторного аргумента , т.е. выполнение неравенства

                             (7.1)

для любых значений векторных аргументов , .

Действительно, учитывая, что , находим

Так как f( )>0 для всех v, то при выполнении (7.1)имеем В₁₂³0, что и требовалось доказать.

Когда в качестве результатов моделирования выступают вероятности событий A₁, А₂ для вариантов S₁ и S₂ системы, то условные значения

,

,

где  – условная вероятность, i=1, 2.

Тогда достаточное условие неотрицательности ковариации запишется в виде

³0,                   (7.2)

что соответствует одинаковой упорядоченности условных вероятностей  и  относительно векторного аргумента .

Одинаково упорядоченными являются монотонно возрастающие или монотонно убывающие функции m₁(v) и m₂(v) скалярного аргумента v, а также одинаковые функции m₁(v)= m₂(v) независимо от их монотонности. Пример одинаково упорядоченных возрастающих (а) и убывающих (б) функций m(v) показан на рис. 7.3.

а                                            б

m                                                     m

                   m₁    m₂

                                                              m₁

                                                                                             m₂

n                                                      n

Рис.7.3. Пример одинаково упорядоченных функций

Если положительные функции m_j( ), , одинаково упорядочены, то произведение любой комбинации этих функций m_k( )m_s( )…m_m( ) одинаково упорядочено с произведением любой комбинации m_l( )m_q( )…m_p( ). Это же можно сказать и об условных вероятностях P(A_j / ), .

Пример 7.4. Пусть методом статистического моделирования на ЭВМ необходимо сравнить результаты моделирования двух вариантов S₁ и S₂ системы, составленных из одинаковых блоков B₁ – B₄ (структура системы показана на рис. 7.4) и сравниваемых по критерию надежности с учетом случайных изменений внешней температуры. События A₁ и A₂ соответствуют безотказной работе вариантов S₁ и S₂ системы в течение заданного времени Т. Вероятность безотказной работы B_i при заданной температуре v можно определять как

,

где l_i(v) – интенсивности отказов, являющиеся возрастающими функциями температуры.

                               S₁                                                                            S₂

Рис. 7.4. Структуры сравниваемых вариантов систем S₁ и S₂

Таким образом, функции P(B_i/v) являются одинаково упорядоченными убывающими функциями. Можно показать, что функции

также одинаково упорядочены и убывают с ростом температуры v. Поэтому, используя при машинном эксперименте с вариантами S₁ и S₂ системы одни и те же реализации v случайной температуры v, получим в результате моделирования большую точность сравнения вероятностей Р(А₁) и Р(А₂), чем при раздельном моделировании S₁ и S₂ системы с использованием независимых реализаций v.

Рассмотренный пример можно обобщить и на случай векторного аргумента, например, для набора таких переменных, как температура, давление, ускорение и т.п.

Когда независимые компоненты в воздействиях внешней среды Е отсутствуют, т.е. ₁= ₂= , условные средние m₁=M[q₁/ ], m₂=M[q₂/ ] преобразуются в детерминированные зависимости критериев от случайных воздействий q₁=f₁( ), q₂=f₂( ).

При этом условия одинаковой упорядоченности становятся еще более жесткими.

Так, например, условия (7.2) выполняются лишь тогда, когда для всех значений исключено одно из состояний: A_{1 2} или ₁А₂. Другими словами, положительная корреляция B₁₂ и связанные с ней преимущества гарантируются лишь тогда, когда вариант системы S₁ равномерно лучше (хуже) варианта S₂. В принятых в п. 6.3 обозначениях это соответствует p _C = 0 или p_D = 0.

Состояния C = A_{1 2} или D = ₁А₂ вариантов систем S₁ и S₂ возможны лишь при наличии двух неисправных блоков В _i, , состояние A = A₁A₂ возможно при отсутствии неисправностей или при одной неисправности, а состояние
В = _{1 2}при трех или четырех неисправностях. Обозначив через _{i j} ситуацию с неисправностями блоков B_i и B_j , находим соответствие между состояниями  и убеждаемся в отсутствии состояния D .

Следует помнить, что условия одинаковой упорядоченности (7.1) и (7.2) являются достаточными, но не необходимыми и достаточными условиями неотрицательности корреляции. Поэтому, обнаружив в конкретной схеме проведения имитационного эксперимента нарушениеэтих условий при некоторых реализациях входных воздействий , следует более детально рассмотреть процедуру сравнения средних значений или вероятностей. Например, при сравнении вероятностей, задаваясь значениями Dp = p₁ – p₂, p_A и p_D , необходимо рассчитать значения р₂ = р _A +р _D , р₁ = p₂+Dp, р _C = p_D+Dр и вычислить коэффициенты корреляции и «выигрыша» соответственно:

;

,

где N_н, и N_з – объемы выборки, необходимые для получения заданной точности оценки Dр при использовании независимых и зависимых реализаций.

Таким образом, использование зависимых испытаний дает возможность значительно сократить затраты машинного времени на моделирование. Рассмотренная методика сравнения характеристик вариантов при синтезе системы с учетом их корреляции является формальной. Однако основа для получения с помощью этой методики практических преимуществ – неформальная операция выбора такой схемы имитации, при которой искусственно создавалась бы требуемая корреляция.