Цифровые модели элементов радиосистем, описываемых нелинейными дифференциальными уравнениями.

       В большинстве случаев исследования радиосистем методами математического моделирования их можно описать дифференциальными уравнениями

Ψ(y,y',…,y⁽ⁿ⁾,t,x,x',…,x^(m),α,β)=0.                         (14)

       Здесь x,x',…,x^(m) и y,y',…,y⁽ⁿ⁾ – входные и выходные фазовые переменные и их производные; t – независимая переменная – время; α, β – множества внешних и внутренних параметров системы; t=t₀; y₀=y(t₀);  - начальные условия.

       В процессе моделирования системы необходимо определить реакцию системы y(t) и её производные на некотором заданном интервале t₀≤t≤T_Н.

       В методах численного решения дифференциальных уравнений подобного вида используется принцип пошагового интегрирования, при котором начиная с начальных условий осуществляется предсказание последующих значений переменной y=y(t) и её производных.

       Все алгоритмы численного решения дифференциальных уравнений можно разбить на одноступенчатые методы прогноза и многоступенчатые методы прогноза и коррекции. Одноступенчатые методы прогноза для получения решения в момент t₁=t₀+Δt используют информацию о начальных условиях, которые предполагаются заданными. Поэтому соответствующие алгоритмы являются самоначинающимися. Многоступенчатые методы прогноза и коррекции для получения решения в момент t_i=t₀+iΔt используют информацию о y=y(t) в некоторые предыдущие моменты времени t_i-1, t_i-2,…, т.е. для их реализации необходимо знать решения y_i-1,  на предыдущих этапах. Это несамоначинающиеся численные алгоритмы. Такие алгоритмы более экономны в смысле затрат машинного времени при той же точности решения задачи.

       Особенностью численных методов решения дифференциальных уравнений является то, что они применимы для решения дифференциальных уравнений только 1-го порядка

                                                              (15)     

С начальными условиями t=t₀, y=y₀.

       Если радиосистема описывается уравнением n-го порядка, то для численного решения его необходимо описать совокупностью уравнений 1-го порядка. Если решение такого уравнения существует и единственно, то его можно представить рядом Тейлора в окрестности точки t_i

где при t=t_i (i=1,2,…,K, K=T_H/Δt)

        (16)

……………………………………………….

       Несмотря на то, что этот алгоритм решения уравнения является самоначинающимся и сравнительно просто позволяет получить решение с любой точностью, с точки зрения возможности его реализации на ЭВМ он обладает существенным недостатком. Здесь для получения решения на каждом шаге t₁, t₂,…,t_k необходимо вычислять производные  что приводит к значительным затратам машинного времени. Поэтому многие известные алгоритмы используют аппроксимацию конечного числа членов разложения решения в ряд Тейлора. При этом аппроксимация осуществляется так, чтобы отпала необходимость в вычислении производных в (16).

       Наиболее часто применяемые при моделировании радиосистем алгоритмы представлены в табл. 1. Алгоритм Эйлера использует первые два члена разложения в ряд Тейлора, алгоритм Эйлера-Коши – три, а алгоритм Рунге-Кутта 4-го порядка - четыре. Наиболее точными из приведенных в табл. 1 являются алгоритмы Рунге-Кутта. Точность решения задачи в каждом отдельном случае зависит также от интервала Δt. Поэтому остановимся на принципах выбора интервала дискретизации Δt в зависимости от необходимой точности решения задачи.

Таблица 1.

Метод численного решения	Цифровой алгоритм (модель)	Погрешность решения εi+1
		на одном шаге	при
Эйлера			5·10-3
Эйлера - Коши			1,6·10-4
Рунге-Кутта (4-го порядка)			8,33·10-8

       Рассмотрим алгоритм цифрового моделирования инерционного звена

       Соответствующее дифференциальное уравнение

       Для произвольного внешнего воздействия x(t) алгоритм Эйлера дает следующее решение:

                       (17)

       Оценим точность решения задачи на одном шаге, полагая, что в системе имеет место только собственное движение (x=0). В этом случае  (t=t₀, y=y₀), и можно получить точное решение задачи

       Из (17) получаем решение методом Эйлера

       Относительная погрешность решения на одном шаге

.

Если положить , то  Погрешности решения аналогичной задачи на одном шаге методами Эйлера-Коши и Рунге-Кутта 4-го порядка, приведены в табл. 1.

Лекцию разработал

Доцент к.т.н. доцент       В. Ерохин

26.06.2014