Проблема квантования по уровню и дискретизации по времени непрерывных воздействий при цифровом моделировании.

I. МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ

ГРАЖДАНСКОЙ АВИАЦИИ

ИРКУТСКИЙ ФИЛИАЛ

 

 

       КАФЕДРА ____АРЭО_________________________________________________

 

ЛЕКЦИЯ №__2_______

по дисциплине

_______Моделирование систем и процессов____

____________________________________________

                                                  

 

для студентов специальности_162107_

 

ТЕМА №2. Математические модели воздействий на радиоустройства.

____________________________

_______________________________

Иркутск, 2014 г.

 

 

Иркутский филиал МГТУ ГА

кафедра_______АРЭО_______________________________________________

(наименование кафедры)

 

          УТВЕРЖДАЮ                 

Заведующий кафедрой         

Доцент                  О.В. Патрикеев

____________________________

(уч. степень, уч. звание, подпись, фамилия)

                                                            26.06.2014

 

Лекция № 2_

 

По дисциплине__Моделирование систем и процессов

(полное наименование дисциплины в соответствии с учебным планом)

 

 Тема лекции Математические модели воздействий на радиоустройства.

 (полное наименование темы лекции)

 

 

СОДЕРЖАНИЕ

2.1. Проблема квантования по уровню и дискретизации по времени непрерывных воздействий при цифровом моделировании .

 (наименование первого вопроса лекции)

2.2. К лассификация воздействий на РТУ и С.

 (наименование второго вопроса лекции)

 

Литература: [3] с.105-133, [10] c.45-58.

 

НАГЛЯДНЫЕ ПОСОБИЯ, ПРИЛОЖЕНИЯ, ТСО

1. Проектор

(наименование)

2._______________________________________________

(наименование)

 

Обсуждено на заседании кафедры

«26» ____июня___ 2014 г., протокол № 20

 

 

Лекция № 2. Тема 2. Формальное описание РТУиС.

Проблема квантования по уровню и дискретизации по времени непрерывных воздействий при цифровом моделировании.

Цифровые ЭВМ оперируют с массивами дискретных величин (чисел). Чтобы представить информационный процесс λ = λ (t) или радиосигнал s = s (t, λ) (в общем случае функцию х = х (t)) массивом чисел, необходимо осуществить дискретизацию этой функции как по времени, так и по уровню. Дискретизация по времени заключается в замене процесса х = х(t) его дискретными значениями

 

отсчитываемыми через интервалы ∆t, которые при моделировании радиосистем в отдельных блоках модели могут быть различными.

Ошибки дискретизации по времени обусловлены недостаточным числом отсчетов (фиксированных координат) процесса  на интервале . Чем меньше , тем выше точность воспроизведения процесса x = x (t), но тем большим числом ординат n на заданном интервале наблюдения  он описывается. Поскольку для воспроизведения на ЭВМ каждой ординаты x( ) (i=0,1,2,…, n) процесса x = x(t) необходимо время, повышение точности воспроизведения непосредственно связано с увеличением машинного времени, которое потребуется для моделирования процесса x = x(t) на том же интервале .

В общем случае процесс x = x(t) в некотором линейном пространстве Ф можно записать в форме

               (2)

 

где  - совокупность линейно-независимых элементов из пространства Ф; -координаты процесса x = x (t).

Если x = x (t) есть непрерывная на интервале  функция с ограниченным некоторой частотой  спектром, то ее можно представить рядом Котельникова

(3)

где  Если интервал дискретизации удовлетворяет условию

    (4)

то процесс x = x (t) c помощью ряда (3) полностью восстанавливается, т.е.

(5)

Теорема Котельникова лежит в основе представления процессов x = x(t) их дискретными ординатами, которое можно использовать в системах передачи информации и ЭВМ. Однако для точного выполнения равенства (3) необходима специальная обработка ряда с помощью оптимальных фильтров. Такая обработка в ЭВМ не предусмотрена, поэтому интервал дискретизации ∆t выбирается из более жестких условий

   (6)

 

Поскольку при формировании цифровой модели радиосистемы важное значение имеют ошибки, вызванные дискретизацией процесса x = x(t) по времени, выбору интервала ∆t обычно уделяется серьезное внимание.

Как уже отмечалось, в цифровых ЭВМ оперируют числами. Количество различных чисел, формируемых в ЭВМ, конечно, хотя и может быть весьма значительным. Это означает, что в ЭВМ при воспроизведении процессов x = x (t) осуществляется дискретизация по амплитуде (квантование) (рис. 1,а). При непрерывном естественном процессе x = x (t) в ЭВМ его ординаты изменяются дискретно на величину nδx (n=0,1,2, …).

Таким образом, если точное значение процесса x = x(t) в момент  равно x = x(t), то его значение в ЭВМ будет  При этом ошибка округления не превышает половины интервала квантования по амплитуде :

(7)

Таким образом, квантование сигнала по амплитуде приводит к возникновению шума квантование (рис. 1,б). Если число уровней квантования

(8)

достаточно велико, то среднеквадратическое значение шума квантование

   (9)

Современные ЭВМ обладает огромным динамическим диапазоном воспроизведения x = x(t).

Рис. 1.

Поэтому при расчетах на универсальных ЭВМ ошибки округления обычно пренебрежимо малы и могут проявиться лишь в результате накопления, в процессе длительных вычислений.

Круг инженерных задач, которые можно решать методами математического моделирования на ЭВМ был сформулирован в предыдущих лекциях. Формальная схема решения любой из задач показана на рис. 2 лекции №2. В случае решения задачи на ЭВМ вначале необходимо получить выборку из N реализаций выходной фазовой переменной  исследуемой системы и далее путем соответствующей обработки этой выборки найти желаемый выходной параметр системы  в виде оценки . На основе этой формальной схемы нетрудно составить программу исследования системы методом её моделирования на ЭВМ. Программа (рис. 2) содержит головную часть для получения выходного параметра системы  (i=1,2,…,n)  и вложенную в неё цифровую модель исследуемой системы для получения выборки реализаций выходной фазовой переменной . В программе можно выделить три цикла процедуры решения задачи.

Цикл 1. Вычисляется последовательность дискретных значений отдельной реализации выходной фазовой переменной (рис. 2.13)

 (10)

       где K=T_Н/Δt; , Δt – интервал дискретизации y(t) по времени. Вычисление реализации заканчивается после того, как выполнено условие i≥К. Результаты одного испытания в виде массива чисел y_i (1,2,…, К) фиксируются в памяти ЭВМ, и их можно использовать для вычисления оценки какого-либо выходного параметра.

       Цикл 2. Организуется N-кратное повторение прогонов модели, в результате формируется массив чисел

(11)

Описывающих выборку из ансамбля реализаций. Вычисление выборки завершается после выполнения условия j≥N.

       Цикл 3. Организуется расчёт выходных параметров варианта решения задачи или построения системы. Этот цикл позволяет получить множество оценок выходных параметров с помощью заданного функционала F₂

       (12)

если рассматривается один вариант построения системы, или оценка одного и того же параметра

       (13)

если исследуется М вариантов. Вычисление завершается после выполнения условия k≥M, и далее полученные результаты выдаются потребителю для принятия соответствующего решения.

       Таким образом, чтобы выполнить исследования радиосистем на ЭВМ, необходимо её математическую модель преобразовать в цифровую – специальный моделирующий алгоритм, который можно реализовать на ЭВМ.

Рис. 2.

Рис. 3.