Задания на контрольную работу по теме

 

Задача 1  Исследовать сходимость числового ряда.

 

Номер варианта	Исследуемые ряды	Номер варианта	Исследуемые ряды
1	а) ; б) .	2	а) ;  б) .
3	а) ;   б) .	4	а) б) .
5	а) ; б) .	6	а) ; б) .
7	а) ; б) .	8	а) ; б) .
9	а) ;   б) . .	10	а) ; б) .

 

Задача 2 Найти область сходимости степенного ряда.

 

Номер варианта	Исследуемые ряды	Номер варианта	Исследуемые ряды
1		2
3		4
5		6
7		8
9		10

 

 

Задача 3 Данную функцию представить в виде степенного

   ряда по степеням  (x – a), где  а – данное число.

 

№ варианта	Функция и точка	№ варианта	Функция и точка
1		2
3		4
5		6
7		8
9		10

 

 

Задача 4  Построить эскиз графика, разложить в ряд Фурье следующие функции, периодические с периодом , определить сумму в точках разрыва. Построить график частичной суммы Фурье для n=4.

№	Функция	№	Функция
1		6
2		7
3		8
4		9
5		10

 

 

Задача 5   Разложить в ряд Фурье  в вещественной форме периодическую функцию , с периодом  Т=2l. Построить график частичной суммы при n=5.

 

№	Функция	T	№	Функция	T
1	f(x)=x+4	2	6	f(x)=2x+1	3
2	f(x)=-x+4	4	7	f(x)=2x-1	5
3	f(x)=2x+4	6	8	f(x)=3x+4	7
4	f(x)=x+1	2	9	f(x)=3x-2	3
5	f(x)=-x+2	4	10	f(x)=-3x-1	1

Задача 6 Разложить в ряд Фурье в комплексной форме периодическую функцию с периодом , определенную следующим образом: , . Построить амплитудно-частотный спектр.

№	Функция	№	Функция
1		6
2		7
3		8
4		9
5		10

 

Решение примерного варианта

Задача 1  Исследовать сходимость числового ряда.

 

а) .

К данному знакоположительному ряду применим признак Даламбера:

; ряд расходится.

Ответ: ряд расходится.

 

б) .

Исследуем данный знакочередующийся ряд на абсолютную сходимость, рассмотрев ряд, составленный из модулей его членов:

.

Полученный знакоположительный ряд сравним по второму признаку сравнения с гармоническим рядом , про который известно, что он расходится:

.

Предел существует и не равен нулю; следовательно, согласно признаку, исследуемый ряд, как и гармонический, тоже расходится. Значит, исходный знакочередующийся ряд абсолютной сходимости не имеет.

Проверим теперь, обладает ли исходный знакочередующийся ряд условной сходимостью. Для этого используем признак Лейбница:

;

, т.е. для любых  выполняется условие .

Оба условия признака Лейбница выполняются, т.е. по признаку Лейбница ряд сходится. Таким образом, исходный знакочередующийся ряд сходится условно.

Ответ: ряд сходится условно.

Задача 2 Найти область сходимости степенного ряда.

 

.

Здесь центр сходимости . Найдем радиус сходимости по формуле (16), полученной из признака Даламбера:

.

Так как при  функции  и  являются эквивалентными бесконечно малыми, то при   эквивалентны бесконечно малые   и ,  а также  и . Поэтому

.

По найденному радиусу сходимости получаем гарантированный интервал абсолютной сходимости:

.

Исследуем сходимость ряда на границах этого интервала.

· .

Этот знакочередующийся ряд не имеет абсолютной сходимости, т.к.

, и ряд   расходится (второй, предельный признак сравнения). В то же время для него выполняются условия   и , т.к.  - возрастающая функция. Следовательно, ряд сходится по признаку Лейбница, т.е. исходный степенной ряд в т.  сходится условно.  

· .

Этот знакоположительный числовой ряд также можно сравнить с расходящимся рядом   по второму признаку сравнения, из чего следует, что ряд    расходится.

Ответ: область сходимости данного степенного ряда: .

 

 

Задача 3 Данную функцию представить в виде степенного

  ряда по степеням  (x – a), где  а – данное число: .

Решение

Требуется разложить функцию по степеням двучлена . Обозначим его новой переменной: . Тогда , и . Последнее выражение представим в виде  и введем еще одну переменную: . После этого . Теперь для функции  применим ее известное разложение в ряд Маклорена (см. справочную информацию):

.

В последнем разложении возвратимся к переменной  и далее к исходной переменной :

.

Найдем теперь область сходимости. Для переменной  ее составляет интервал , т.е. .   Тогда   и . Отсюда получаем, что .

Ответ: , .

Задача 4   Построить эскиз графика, разложить в ряд Фурье функцию , имеющую период . Определить сумму в точках разрыва. По строить график частичной суммы ряда Фурье для n = 4.

Решение  Построим график функции

Эта функция  f ( x ) имеет период , одну точку разрыва первого рода  x=0 на отрезке , отрезок  можно разбить на два отрезка так, что внутри каждого из них функция f ( x ) монотонна.

По формуле (2) найдем коэффициент   этого ряда.

.

Найдем  по формуле (3)

По формуле (4)  найдем аналогичным образом

.

Подставляя коэффициенты в формулу (1), получаем   или .

Это равенство справедливо во всех точках, кроме точек разрыва. В каждой точке разрыва сумма ряда равна среднему арифметическому ее предельных значений изнутри отрезка, то есть в точке x=0.

= , а на концах отрезка в точках  и = .

Ответ.

Построим график S₄(x)

 

 

Задача 5   Разложить в ряд Фурье в вещественной форме периодическую функцию , с периодом  Т=6. Построить график частичной суммы при n = 5.

Решение

 Построим эскиз графика функции

Проверив выполнение условий Дирихле для функции, переходим к вычислению коэффициентов Фурье. Заданная функция общего вида с периодом Т=6, l=3, поэтому в разложении ее ряд Фурье имеет вид: .

Подставляя коэффициенты в формулу ряда, получаем   или .  Это равенство имеет место во всех точках, кроме точек -3 и 3. В каждой из этих точек сумма ряда равна среднему арифметическому ее предельных значений справа и слева, то есть .

Построим график S₅ (x)

Можно совместить оба графика на одном чертеже

 

Отметим близость этих графиков.

 

 

Задача 6  Разложить в ряд Фурье в комплексной форме периодическую функцию с периодом , определенную следующим образом: . Построить амплитудно-частотный спектр.

Решение. Будем считать функцию периодической с периодом Т =2. Построим график.

Проверив выполнение условий Дирихле для функции , переходим к вычислению коэффи­циентов Фурье по формуле .

Интеграл, стоящий в правой части последнего равенства, опре­деляется по частям:

;

Если , то полученные формулы не дают результата. Поэтому коэффициент   надо вычислить иначе׃ , так как интеграл от нечетной функции по симметричному промежутку равен нулю. Окончательно получим

Это равенство имеет место лишь в точках непрерывности функции . В точках разрыва , где  k- любое нечетное число, сумма ряда равна нулю. Построим амплитудно-частотный спектр

 

 

 

 

Вопросы к экзамену

1. Основные понятия числовых рядов.

2. Необходимый признак сходимости рядов.

3. Достаточные признаки сходимости рядов.

4. Определение знакочередующихся и знакопеременных рядов.

5. Признаки сходимости знакочередующихся рядов.

6. Абсолютную и условную сходимость числового ряда.

7. Определение функционального ряда.

8. Сходимость функциональных рядов.

9. Определение степенного ряда.

10. Формулы радиуса и области сходимости степенного ряда.

11. Определение гармонического колебания.

12. Сформулируйте теорему Дирихле.

13. Определение ряда Фурье с периодом Т = 2 .

14. Определение ряда Фурье для четной функции.

15. Запишите ряд Фурье для нечетной функции .

16. Определение ряда Фурье с произвольным периодом Т = 2l.

17. Определение ряда Фурье с произвольным периодом четной функции.

18. Определение ряда Фурье с произвольным периодом нечетной функции.

19. Определение ряда Фурье для непериодической функции, заданной на некотором интервале (а, в).

20.  Определение комплексной формы разложения функции в ряд Фурье.

21.  Определение амплитудного спектра ряда Фурье в комплексной форме.