Тригонометрический ряд. Ряд Фурье

В науке и технике часто приходится иметь дело с периодическими явлениями, т.е. такими, которые воспроизводятся через определённый промежуток времени  T, называемый периодом. Простейшей из периодических функций (если не считать постоянной) является синусоидальная величина: Asin( x+ ), гармоническое колебание, где  есть «частота», связанная с периодом соотношением: . Из таких простейших периодических функций могут быть составлены более сложные. Очевидно, что составляющие синусоидальные величины должны быть разных частот, так как сложение синусоидальных величин одной и той же частоты приводит к синусоидальной величине той же частоты. Если сложить несколько величин вида

,

которые, если не считать постоянной, имеют частоты , кратные наименьшей из них, , и периоды , то получится новая периодическая функция (с периодом T), отличная от этих величин.

Для примера мы воспроизводим здесь сложение трех синусоидальных величин: . Рассмотрим  график этой функции

Этот график значительно отличается от синусоиды. Еще в большей степени это имеет место для суммы бесконечного ряда, составленного из слагаемых этого вида. Поставим вопрос: можно ли данную периодическую функцию периода  Т представить в виде суммы конечного или хотя бы бесконечного множества синусоидальных величин? Оказывается, по отношению к большому классу функций на этот вопрос можно дать утвердительный ответ, но это только если привлечь именно всю бесконечную последовательность таких слагаемых. Геометрически это означает, что график периодической функции получается путем наложения ряда синусоид. Если же рассматривать каждую синусоидальную величину как некоторое гармоническое колебательное движение, то можно сказать, что это сложное колебание, характеризуемое функцией  или просто ее гармониками (первой, второй и т. д.). Процесс разложения периодической функции на гармоники носит название гармонического анализа.

Важно отметить, что подобные разложения часто оказываются полезными и при исследовании функций, заданных лишь в определенном конечном промежутке и вовсе не порожденных никакими колебательными явлениями.

Определение. Тригонометрическим рядом называется ряд вида:

или     (1).

Действительные числа называются коэффициентами тригонометрического ряда. Этот ряд можно записать и так:

Если ряд представленного выше типа сходится, то его сумма является периодической функцией с периодом 2p.

Определение. Коэффициентами Фурье тригонометрического ряда  называются:                   (2)

(3)

 (4)

Определение. Рядом Фурье для функции  f ( x ) называется тригонометрический ряд, коэффициенты которого являются коэффициентами Фурье.

Если  ряд Фурье функции  f ( x ) сходится к ней во всех ее точках непрерывности, то говорят, что функция f ( x ) разлагается в ряд Фурье.

Теорема . (Теорема Дирихле) Если функция  имеет период 2p и на отрезке  непрерывна или имеет конечное число точек разрыва первого рода, отрезок  можно разбить на конечное число отрезков так, что внутри каждого из них функция  монотонна, то ряд Фурье для функции  сходится при всех значениях х, причем в точках непрерывности функции  его сумма  S ( x ) равна , а в точках разрыва его сумма равна , т.е. среднему арифметическому предельных значений слева и справа.

При этом ряд Фурье функции  f(x) сходится равномерно на любом отрезке, который принадлежит интервалу непрерывности функции .

              Функция, удовлетворяющая условиям этой теоремы, называется кусочно – гладкой на отрезке .

Рассмотрим примеры на разложение функции в ряд Фурье.

Пример 1. Разложить в ряд Фурье функцию  f ( x )=1- x,  имеющую период 2 p и заданную на отрезке .

Решение. Построим график этой функции

Эта функция непрерывна на отрезке , то есть на отрезке длиной в период, поэтому допускает разложение в ряд Фурье, сходящейся к ней в каждой точке этого отрезка. По формуле (2) найдем коэффициент  этого ряда: .

Применим формулу интегрирования по частям и найдем  и по формулам (3) и (4) соответственно:

Подставляя коэффициенты в формулу (1), получаем  или .

Это равенство имеет место во всех точках, кроме точек   и (точки склейки графиков). В каждой из этих точек сумма ряда равна среднему арифметическому ее предельных значений справа и слева, то есть .

Приведем алгоритм разложения функции  в ряд Фурье.

Общий порядок решения поставленной задачи сводится к следующему:

1. построение графика заданной функции  и проверка выполнения условий Дирихле;

2. вычисление коэффициентов  и  по формулам (2-4);

3. составление ряда Фурье заданной функции f ( x ) в точках ее непрерывности: ;

4. определение точек разрыва функции f(x);

5. нахождение среднего арифметического предельных значений функции  f(x) справа и слева в точке разрыва  и на концах отрезка , если . В этом случае

Замечание. При вычислении коэффициентов Фурье мы можем заменять промежуток интегрирования   промежутком интегрирования , где l - любое действительное число, а   вычислять по формулам: , .