Базовая модель межотраслевого баланса (модель Леонтьева)

Модель позволяет проследить взаимосвязи между объемом конечного спроса и структурой выпуска в экономике.

С точки зрения общей модели равновесия классическая модель Леонтьева имеет следующие особенности:

· рассматривается экономика, состоящая из «чистых» отраслей, т.е. когда каждая отрасль выпускает один и только свой вид продукта;

· рассматривается замкнутая экономика, то есть нет внешней торговли;

· взаимосвязь между выпуском и затратами описывается линейными уравнениями (линейная и постоянная технология);

· вектор спроса на товары считается заданным, т.е. в модели отсутствуют как таковые оптимизационные задачи потребителей;

· вектор выпуска товаров вычисляется, исходя из спроса, т.е. отсутствуют как таковые оптимизационные задачи фирм;

· равновесие понимается как строгое равенство спроса и предложения, т.е. стоимостной баланс отсутствует, более того, цены товаров в модели не рассматриваются вообще.

Все отрасли предполагаются взаимозависимыми в том смысле, что для производства своего продукта каждая из них использует результаты производства (продукты) других фирм и только их. Иначе говоря, на данном уровне формализации применение отраслями невоспроизводимых производственных факторов не предусматривается.

Обозначим через n количество всех отраслей. Так как отрасли являются чистыми, индекс отрасли можно отождествить как с видом товара, так и с технологическим процессом.

Предположим, что на данном плановом периоде времени известен конечный спрос на все n товаров. Пусть технология производства предписывает для выпуска одной единицы i -го товара количество товара вида 1, количество товара вида 2 и т.д., количество товара вида n ( ). Обозначим через объем производства отрасли i на всем плановом периоде (валовый выпуск). Тогда величина показывает объем продукции отрасли j, необходимый для функционирования отрасли i с планом выпуска , а величина

                                                                                  (3.1)

- суммарное потребление продукции отрасли j в производственном секторе.

Наглядную картину межотраслевых связей при плане выпуска и плане конечного потребления показывает схема межотраслевого баланса (табл. 3.1).

Таблица 3.1

Общий вид схемы межотраслевого баланса

Отрасли как поставщики	Отрасли как потребители ресурсов				Потребление		Валовой выпуск
	1	2	…	n	Производ­ственное	Конечное
1			…		a01	c1	x1
2			…		a02	c2	x2
…	…	…	…	…	…	…	…
n			…		a0n	cn	xn

Балансовый характер этой схемы заключается в том, что элементы последних трех столбцов в каждой строке должны удовлетворять равенству:

                                                                         (3.2)

Левую часть равенства (3.2) можно трактовать как итоговый (производственный плюс конечный) спрос на продукцию отрасли j (на j-ый товар), а правую - как предложение j-го товара. Поэтому, во-первых, уравнения (3.2) отражают общее равновесие (т.е. равновесие по всем видам товаров) в экономике. Во-вторых, они показывают самодостаточность производства – для выпуска любого товара достаточно иметь воспроизведенную продукцию рассматриваемых отраслей. В-третьих, из уравнений (3.2) следует, что весь валовой выпуск полностью распределяется между потребителями.

Таким образом, схема межотраслевого баланса задает те условия, когда экономика будет находиться в равновесном состоянии. А именно, при известном спросе и известной постоянной технологии вектор валового выпуска должен вычисляться как решение системы n линейных уравнений (3.1).

Для учета невоспроизводимых факторов (в частности, полезных ископаемых), импортируемых ресурсов, а также резервов на начало планируемого периода в модель дополняются фиктивные отрасли n+1 ,...,n+k , для которых при . В модели (3.2) можно учитывать и экспорт товаров и инвестирование, фиксируя их объемы в столбике конечного потребления по видам товаров, т.е. рассматривая вместо величины .

Межотраслевой баланс может формироваться как в натуральном, так и в денежном выражении. В первом случае межотраслевой баланс содержит только два раздела: формирование производственных ресурсов и использование результатов производства на производственное и конечное потребление.

Схема межотраслевого баланса в денежном выражении имеет более сложную структуру, включающую четыре раздела: промежуточного продукта, конечного продукта, амортизации, вновь созданной стоимости и ее перераспределения.

Подставляя технологические коэффициенты в (3.2), для каждой отрасли получаем балансовое соотношение

                                                                    (3.3)

С помощью технологической матрицы

                                                                       (3.4)

эту систему уравнений можно написать в векторной форме:

                                                                                           (3.5)

Уравнение (3.4), где A - постоянная технологическая матрица, - известный вектор спроса, - неизвестный вектор выпуска, называется моделью Леонтьева.

Модель Леонтьева призвана ответить на вопрос: можно ли в условиях данной технологии удовлетворить конечный спрос? Ответ на этот вопрос сводится к существованию решения системы

относительно переменных . Условия существования и единственности решения такой системы хорошо известны из курса алгебры. Однако здесь речь идет о решении этой системы, имеющем подходящий экономический смысл. А именно, все элементы модели Леонтьева по их определению являются неотрицательными величинами, в том числе переменные . Поэтому мы должны говорить о существовании неотрицательных решений системы (3.4).

Модель Леонтьева называется продуктивной, если система (3.4) имеет неотрицательное решение , . Перепишем систему (3.4) в виде . Тогда или

                                                                                 (3.7)

где E - единичная матрица размером . Существование неотрицательного решения системы (3.4) определяется существованием невырожденной матрицы , обратной к матрице .

При выполнении этого и некоторых других условий, то вектор выпуска x определяется по формуле (3.7). Матрица предоставляет информацию о том, каким образом вектор конечного спроса c пересчитывается в необходимый вектор валового выпуска x. Из линейности модели Леонтьева по x и c следует, что приращение вектора c и соответствующее приращение вектора x связаны между собой уравнением . Следовательно, матрица позволяет вычислить изменение валового выпуска, вызванное изменением конечного потребления. Поэтому матрицу часто называют матричным мультипликатором. Элемент матричного мультипликатора (обозначим через ) можно интерпретировать как количество продукта одного вида, необходимое для выпуска одной единицы продукции другого вида.

Матрицу можно представить в виде степенного ряда матриц:

где ,

,

и т.д. Вычисление (аппроксимация) обратной матрицы связано со сходимостью бесконечного степенного ряда

                                                                                    (3.8)

Для продуктивной модели Леонтьева вектор валового выпуска x представляется матричным рядом

Слагаемые Ac, , ... интерпретируются как промежуточные затраты, а именно, Ac - затраты, необходимые для производства (выпуска) c , - затраты, необходимые для производства (выпуска) Ac и т.д. Содержательный смысл этой последовательности таков: для того чтобы получить чистый выпуск c , нужно затратить вектор продуктов Ac; затем, чтобы произвести в системе этот набор продуктов Ac , придется дополнительно затратить и т.д. Сумма вектора чистого выпуска c (вектора конечного потребления) и всех векторов промежуточных затрат (производственного потребления) и составляет вектор валового выпуска. Из предыдущего равенства следует, что решение уравнения (2) можно получить итерационно по формуле

с начальным условием .