Доказательство. (ДОК 12).

Запишем 2 условия Коши-Римана. Одно продифференцируем по переменной , а второе по :

.

Сложим теперь эти 2 равенства, но при этом смешанные производные 2 порядка от  при этом совпадают, они вычитаются и дают 0.

. Итак, .

Теперь снова запишем условия Коши-Римана, 1-е дифференцируем по , а второе по .

.

Теперь вычтем из 1-го равенства 2-е.

, тогда .

ЛЕКЦИЯ 4. 23.09.2019

Пример.  = . Здесь для  не верно уравнение Лапласа: .

Пример.  = . Уравнение Лапласа для обеих частей функции:

1) ,  , в сумме 0.

2) ,  , 0+0=0.

Теорема 4. Условия Коши-Римана эквивалентны условию .

Доказательство (ДОК 13). Вспомним, что  можно выразить через  таким образом: , . Сделаем это в функциях .

 = .

Таким образом, функция стала выражена через два аргумента , а значит, можно искать частную производную по .

Вспомним формулу полной производной (из 1 семестра) для случая композиции типа : . Найдём производные от  по  этим методом, причём здесь тоже промежуточные переменные .

, .

При этом такие компоненты как  и  можно найти

из формул , , а именно : 

 = ,  = . Таким образом,

, .

Тогда  =  =

 =  =

 =  .

Выполнение условий Коши-Римана

 в данном случае как раз и эквивалентно тому, что в обеих скобках нули, то есть .

□

Итак, как видим, наличие  в составе функции приводит к недифференцируемости. Впрочем, то же верно и при наличии  или , в составе которых есть элемент .

Алгоритм восстановления аналитической функции по её действительной или мнимой части.

Поскольку действительная и мнимая части взаимосвязаны условиями Коши-Римана, то достаточно одной её части, чтобы восстановить вторую часть, и далее всю функцию .

Например, нам известна . Тогда  = , это криволинейный интеграл 2 рода для векторного поля  от фиксированной точки, например (0,0) до произвольной . Нам неизвестны эти частные производные, как и сама функция , однако их можно заменить на известные, по условиям Коши-Римана.

 =  и далее вычислить.

Итак, алгоритм:

1. Проверить выполнение уравнения Лапласа (иначе  или  не может быть частью какой-то единой комплексной функции).

2. Вычислить криволинейный интеграл.

3. В полученной функции  выразить  по формулам: , . При правильном вычислении сократятся все  и останется только .

Пример. Дано . Узнать мнимую часть и восстановить вид функции .

Сначала проверяем уравнение Лапласа.

, , сумма 2-й производных равна 0, то есть  является одной из компонент комплексной функции.

 = = , где .

Итак, найдём криволинейный интеграл . Сделаем это с помощью интегрирования по ломаной, как при вычислении потенциала поля.  =  = .

Далее, в выражение  подставим , .

=  =

 =  =  = . Итак, .