Криволинейные интегралы 2 рода

Томский государственный университет систем управления и радиоэлектроники

Приходовский М.А.

Математика

Курс лекций

Семестр 3

Учебное пособие для специальности

Прикладная информатика в экономике»

Томск

ТУСУР

2019

 

 

       Электронное учебное пособие составлено по материалам лекций на ФСУ в группах 448-1,2 осенью 2019 года.

 

(ДОК №) - доказательства формул или теорем, которые попадают в теооретические билеты.
Оглавление 

Глава 1. Элементы теории поля.......................................... § 1. Криволинейные интегралы 2 рода......................................... § 2. Потенциальные поля .............................................................. Глава 2. Теория функций комплексного переменного ........... § 1. Действия с комплексными числами......................................... § 2. Функции комплексного переменного...................................... § 3. Дифференцирование комплексных функций......................... § 4. Интегрирование комплексных функций................................. § 5. Интегральная формула Коши .................................................. Глава 3. Теория рядов ................................................................. Глава 4. Особые точки и вычеты .............................................

5 5 10 18 18 20 25 34

 

 

Оглавление по номерам лекций

Лекция 1.......................................................................................... Лекция 2.......................................................................................... Лекция 3.......................................................................................... Лекция 4.......................................................................................... Лекция 5.......................................................................................... Лекция 6.......................................................................................... Лекция 7.......................................................................................... Лекция 8.......................................................................................... Лекция 9.......................................................................................... Лекция 10......................................................................................... Лекция 11......................................................................................... Лекция 12......................................................................................... Лекция 13......................................................................................... Лекция 14......................................................................................... Лекция 15......................................................................................... Лекция 16.........................................................................................

5 14 22 31 38

 

ЛЕКЦИЯ 1. 02.09.2019

Глава 1. Элементы теории поля.

Криволинейные интегралы 2 рода

 

       Вспомним строение криволинейных интегралов 2 рода. Пусть есть параметрически заданная кривая . Вектор, расположенный на касательной, обозначаемый  либо  и равный  - это хорошо известный из физики вектор скорости.

Пусть также в каждой точке пространства (и в частности, на кривой),  задана векторная функция . Векторная функция состоит из 3 координатных скалярных функций и имеет вид:

 = .

Криволинейный интегралом 2-го рода (от векторной функции): .

Здесь в каждой точке скалярно умножаются векторы , таким образом, интегрируется в итоге скалярная величина, и результат вычисления такого интеграла - скалярная величина.

Физический смысл: работа силы по перемещению точки по кривой.

Формулы вычисления:

Скалярное произведение двух векторов, у каждого из которых по 3 координаты:  и , который также можно записать в виде .

Более подробно для вычислений на практике:

1) Для параметрически заданной кривой в трёхмерном пространстве правая часть формулы пример такой длинный вид: На самом деле, ничего особо сложного в вычислениях нет, надо просто в функциях  все переменные  выразить через  по тем формулам, которые задают параметрически кривую в пространстве. После этого всё сводится к определённому интегралу от одной переменной .

 2) Для параметрически заданной кривой в плоскости: .

Определение. Работа векторного поля по перемещению точки по замкнутой  кривой называется циркуляцией.  

Обозначение:  или  .

Пример вычисления работы поля  при перемещении точки по единичной окружности.

Задаём траекторию параметрически: , , .

При этом , .

= = = .

Далее рассмотрим взаимосвязь между двойным интегралом по плоской области и криволинейным интегралом по её границе (формула Грина). Вам давно известна формула Ньютона-Лейбница, выражающая взаимосвязь между интегралом по отрезку и значениями первообразной на его границе (граница состоит из 2 точек). Но подобные взаимосвязи есть также и и между плоской областью и её границей.

В рассматриваемом дальше случае граница области должна быть односвязной. Это означает, что внутри плоской области нет пустот, то есть областей, не принадлежащих данному множеству, т.е. каждый контур можно стянуть в точку. Например, кольцо само по себе как плоское множество является односвязным множеством, любую пару точек можно соединить какой-либо кривой. Но его граница не является односвязной, а состоит из двух окружностей, и не всякую пару точек на границе можно соединить кривой, лежащей на границе. Например, если А,В на внешней и внутреннней окружности, то соединяющая кривая проходит не только по границе: