Числовые характеристики распределения случайной величины

Количество попаданий случайной величины в определенный интервал характеризуется плотностью распределения случайной величины. Одной из основных характеристик является математическое ожидание.

Для дискретной случайной величины математическое ожидание определяется как сумма произведений всех возможных значений случайной величины на вероятность этих значений.

(1.3)

Для непрерывной случайной величины математическое ожидание равно:

(1.4)

Таким образом, математическое ожидание выступает как средневзвешенное значение случайной величины и характеризует положение центра распределения на оси абсцисс.

На практике математическое ожидание для непрерывной случайной величины рассчитывается по формуле:

(1.5)

Для дискретной случайной величины по формуле:

(1.6)

Кроме математического ожидания для характеристики положения центра распределения случайной величины часто используют моду и медиану.

Мода — это значение случайной величины, которому соответствует наибольшая плотность вероятности ее распределения.

Медиана — это значение случайной величины для которого интегральная функция распределения .

Для расчета значения моды и медианы необходимо сначала определить модальный и медиальный интервалы.

Модальный интервал — это интервал, характеризующийся наибольшим количеством попаданий случайной величины.

,

(1.7)

где — нижняя граница модального интервала;

с — величина интервала;

 — разность числа попаданий случайной величины в модальном интервале и предыдущем;

 — разность числа попаданий случайной величины в модальном интервале и последующем.

,

(1.8)

где — нижняя граница медиального интервала;

с — величина интервала;

 — количество попаданий случайной величины в медиальный интервал;

N — общее число опытов;

S — сумма исходов, соответствующая попаданию случайной величины по интервалам, не превышающим количество .

Для описания рассеивания случайной величины вокруг математического ожидания используют дисперсию. На практике для расчета дисперсии используют следующую формулу:

,

(1.9)

где n — объем выборки (количество измерений);

 — значение случайной величины;

 — среднее значение случайной величины.

Среднеквадратичное стандартное отклонение рассчитывается по формуле:

(1.10)

Для сравнения величин рассеивания различных случайных величин используют относительное отклонение. Оно рассчитывается по формуле:

(1.11)