Неопределенный интеграл

Часто возникает задача, обратная той, которая решалась в дифференциальном исчислении, а именно: дана функция , найти функцию , такую, что .

Функция  называется первообразной для данной функции  на некотором промежутке Х, если для любого  выполняется равенство

.

Например, пусть , тогда за первообразную можно взять , поскольку .

В основе интегрального исчисления лежит теорема об общем виде первообразной: если  – первообразная для функции  на промежутке Х, то все первообразные для функции  имеют вид , где С – произвольная постоянная.

Выражение вида  описывает все первообразные для функции . Действительно, для любой постоянной С 

.

Пусть наряду с данной первообразной  функция  – также первообразная для . Тогда должны выполняться равенства

,

откуда . Следовательно, разность этих первообразных будет тождественно равна константе  или .

Действие нахождения первообразной называется интегрированием функции.

Доказанная теорема позволяет ввести основное понятие интегрального исчисления: если  – первообразная для , то совокупность функций , где С – произвольная постоянная, называется неопределенным интегралом от функции , который обозначается следующим образом

.

Геометрически неопределенный интеграл представляет собой семейство плоских кривых , называемых интегральными.

Для того, чтобы проверить, правильно ли выполнено интегрирование, надо взять производную от результата и убедиться, что получена подынтегральная функция . Как всякая обратная операция, интегрирование – более сложное действие, чем дифференцирование.

Приведем основные свойства неопределенного интеграла:

1. производная неопределенного интеграла равна подынтегральной функции

;

2. неопределенный интеграл от алгебраической суммы функций равен сумме интегралов от слагаемых функций

;

3. постоянный множитель можно выносить за знак неопределенного интеграла

.

Значения интегралов от основных элементарных функций получаются из формул дифференцирования этих функций. Приведем таблицу основных интегралов:

1) ;	7) ;
2) ;	8) ;
3) ;	9) ;
4) ;	10)
5) ;	11) ;
6) ;	12) .

Интегралы, содержащиеся в этой таблице, называются табличными.

Пример. Найти неопределенный интеграл. Результат интегрирования проверить дифференцированием

Решение: Для нахождения неопределенных интегралов можно воспользоваться как методом замены переменной, так и методом внесения под знак дифференциала. Покажем оба метода.

1. Воспользуемся методом замены переменной. Введем новую переменную t по формуле . Тогда  или . Тогда

После замены переменной воспользовались свойством неопределенного интеграла: постоянный множитель  можно выносить за знак неопределенного интеграла, и так как , то пришли к табличному интегралу , где  и .

2. Решим этот пример методом внесения под знак дифференциала. Замечая, что  и то, что подынтегральное выражение можно представить в виде

,

внесем под знак дифференциала . Для этого выпишем дифференциал этой функции . Тогда

После внесения под знак дифференциала функции  пришли к табличному интегралу , где  и .

3. Результат интегрирования проверим дифференцированием. Для этого найдем производную

Таким образом, производная от неопределенного интеграла равна подынтегральной функции, следовательно, интеграл от данной функции найден, верно.

Определенный интеграл

Определение определенного интеграла. Пусть функция  задана на отрезке [а, b]. Разобьем отрезок [а, b] на п произвольных частей точками

.

Точки, разделяющие отрезок [а, b] на частичные отрезки  длиной , называются точками разбиения. Внутри каждого частичного отрезка выберем произвольную точку . Образуем сумму произведений

,

называемую интегральной суммой для функции  на отрезке [а, b]. Геометрический смысл величины s показан на рис. 2.. Это сумма площадей прямоугольников с основаниями  и высотами .

При этом числа a и b называются соответственно нижним и верхним пределами, выражение  – подынтегральным выражением,  – подынтегральной функцией.

Определенный интеграл численно равен площади криволинейной трапеции, ограниченной вертикальными прямыми  при , осью Ох и графиком неотрицательной и непрерывной функции . В этом состоит его геометрический смысл.

Если предположить, что  – производительность труда в момент t, то  будет численно равен объему произведенной продукции за промежуток , т. е. определенному интегралу можно придать экономический смысл.

у                         В  М i m i А О  х0=а х i  х i+1  b= х n х   Рис. 2

Предел интегральной суммы  при стремлении  к нулю, не зависящий от способа выбора точек  и точек , называется определенным интегралом от функции  на [а, b] и обозначается

Определенный интеграл обладает рядом свойств, аналогичных свойствам неопределенного интеграла:

1) постоянный множитель можно выносить за знак интеграла;

2) интеграл от алгебраической суммы функций равен такой же сумме интегралов от этих функций (свойство линейности).

Кроме того, определенному интегралу присущи свойства, не имеющие аналогов в теории неопределенных интегралов:

3) интеграл от постоянной величины равен этой постоянной, умноженной на длину отрезка интегрирования

;

4) при перемене местами пределов интегрирования интеграл изменяет лишь знак

;

5) интеграл с одинаковыми пределами интегрирования равен нулю

;

6) для любых чисел а, b и c имеет место равенство

.

Пример. Вычислить определенный интеграл с точностью до двух знаков после запятой

Решение:

Воспользуемся методом замены переменной. Введем новую переменную t по формуле . Тогда  или . Осуществим пересчет пределов интегрирования, используя вид замены. Подставим нижний предел интегрирования старой переменной  в выражение  и найдем нижний предел интегрирования новой переменной . Аналогично, подставляя верхний предел интегрирования старой переменной , найдем верхний предел интегрирования новой переменной . Тогда