Геометрические изложения и дифференцированные исчисления (построение графиков)

Функция , определенная во всех точках промежутка , называется возрастающей (убывающей) в этом промежутке, если для любых двух значений аргумента, принадлежащих этому промежутку, большему из них соответствует большее (меньшее) значение функции, т. е,

если  то при

 – возрастающая,  – убывающая.

Из данного определения вытекает, что для возрастающей функции приращения аргумента и функции имеет один и тот же знак, в силу чего их отношение положительно: . Для убывающей функции эти приращения имеют разные знаки, в силу чего . Те значения аргумента, при которых функция достигает своих наибольших и наименьших по сравнению с близкими значений, называются точками максимума и минимума (точками экстремума).

Точка  называется точкой максимума (минимума) непрерывной функции , а значение  называется максимумом (минимумом) этой функции, если существует некоторая окрестность точки  такая, что значение функции в любой точке этой окрестности будет меньше (больше), чем ее значение в самой точке , т. е. меньше (больше), чем максимум (минимум)  (рис. 1).

у                      max           у

min

f(х₀)                                            f(х₀)

 

 

О х₀– d           х₀    х₀+ d х   О х₀– d х₀               х₀+ d х

точка максимума

точка минимума

Рис. 1

Из определений точек экстремума следует, что вне d-окрестности точки экстремума поведение функции произвольно, т. е. понятия максимума и минимума функции носят характер локальных (местных), а не абсолютных понятий.

Чтобы установить признаки возрастания и убывания и признаки экстремума функций, рассмотрим ряд важных теорем математического анализа, на которые опираются все дальнейшие исследования функций.

Рекомендуется исследование функций проводить в определенной последовательности.

1. Найти область определения функции; точки разрыва и их характер; вертикальные асимптоты графика.

2. Определить возможный тип симметрии функции (четность, нечетность функции); точки пересечения графика функции с осями координат, т. е. решить уравнения  и .

3. Найти наклонные и горизонтальные асимптоты графика функции.

4. Использовать первую производную для определения области возрастания и убывания и экстремумов функции.

5. Использовать вторую производную для определения участков выпуклости и вогнутости графика и точек перегиба.

6. Построить график функции с учетом проведенного исследования.

Пример. Провести полное исследование функции

 

 

Решение:

 

Проведем полное исследование функции, используя следующую схему:

 

1. найти область определения функции;

2. исследовать на четность и нечетность функцию;

3. найти точки разрыва функции;

4. найти асимптоты (вертикальные, наклонные и горизонтальные) графика функции;

5. найти точки пересечения графика функции с координатными осями;

6. исследовать функцию на монотонность (указав интервалы возрастания и убывания) и экстремум;

7. определить интервалы выпуклости и вогнутости графика функции, точки перегиба;

8. при необходимости вычислить значения функции в дополнительных точках;

9. построить схематично график функции, используя результаты полученные в пунктах 1-8.

 

Областью определения функции является множество .

Так как  и , то функция не является ни четной, ни нечетной.

Функция претерпевает разрыв в точке .

Найдем асимптоты графиков функции:

а). Прямая  является вертикальной асимптотой, т.к.

 

,        

 

б). Находим наклонные и горизонтальные асимптоты (горизонтальные асимптоты являются частным случаем наклонных асимптот) ,

 

где             ;

Таким образом, прямая  является единственной наклонной асимптотой и на , и на .

 

Найдем точки пересечения графика функции с осями координат.

а) С осью : , , т.е. точка пересечения с осью  - .

б) С осью : , , т.е. точка пересечения с осью  - .

 

6. Исследуем функцию на возрастание, убывание и экстремум. Для этого найдем производную функции.

 

 

Из  получаем , откуда , .

 

+                            _                           +

______________________________________ x

-3                                       11

 

Так как на интервалах  и  производная положительна, т.е. , то график функции на указанных интервалах возрастает. Так как на интервале  производная отрицательна, т.е. , то на указанном интервале график функции убывает.

Так как при переходе через точки ,  производная функции меняет знаки и эти точки входят в область определения функции, то ,  - точки локального экстремума. Причем   точка локального минимума:  (так как при переходе через нее производная меняет знак с "+" на "-");  - точка локального максимума:  (так как при переходе через нее производная меняет знак с "-" на "+").

 

7. Исследуем график функции на выпуклость, вогнутость и определим точки перегиба. Для этого найдем вторую производную функции.

 

 

Очевидно, что в интервале  вторая производная меньше нуля, т.е. , и в этом интервале график функции является выпуклым вверх. В интервале  вторая производная больше нуля, т.е. , и в этом интервале график функции является выпуклым вниз (вогнутым).

Несмотря на то, что при переходе через точку  вторая производная меняет знак, она не является точкой перегиба, так как  не входит в область определения функции, т.е. функция в ней не определена. Таким образом, точек перегиба у графика функции нет.

 

Из  получаем , откуда , .

 

+                            _                           +

______________________________________ x

-3                                       11

 

Так как на интервалах  и  производная положительна, т.е. , то график функции на указанных интервалах возрастает. Так как на интервале  производная отрицательна, т.е. , то на указанном интервале график функции убывает.

Так как при переходе через точки ,  производная функции меняет знаки и эти точки входят в область определения функции, то ,  - точки локального экстремума. Причем   точка локального минимума:  (так как при переходе через нее производная меняет знак с "+" на "-");  - точка локального максимума:  (так как при переходе через нее производная меняет знак с "-" на "+").