ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ СЕЧЕНИЯ СТЕРЖНЯ ИЗ ПРОКАТНЫХ ПРОФИЛЕЙ

Задано поперечное сечение стержня, состоящее из трёх элементов. Требуется:

1.Вычислить:

а)общую площадь A;

б)координаты центра тяжести x_c , y_c;

в)осевые и центробежные моменты инерции J_x, J_y, J_xy относительно произвольных осей, проведённых через центр тяжести;

г)значения главных моментов инерции J_max, J_min;

д)углы наклона главных осей инерции a₁, a₂;

е)значения главных радиусов инерции i_max, i_min.

2.Вычертить сечение в масштабе 1:2 с указанием всех размеров, осей, углов, используемых в расчётах или найденных в ходе вычислений.

Пример решения

Исходные данные

Решение

Элементам поперечного сечения присвоим номера, показанные в кружочках: 1- уголок неравнополочный, 2 - лист, 3 – швеллер.

Наметим центры тяжести для каждого элемента, соответственно их номерам: C₁, C₂, C₃. Проведём через них координатные оси, собственные для каждого элемента и обозначим их: x₁, y₁, x₂, y₂, x₃, y₃. Проведём оси x₀ и y₀, с произвольно избранным началом координат С₀. Нанесём на чертёж основные размеры.

  Предварительно определим геометрические характеристики для каждого элемента, необходимые для последующих вычислений.

  1.Уголок неравнополочный . Изобразим его в стандартном положении (рис. 2) и выпишем из таблицы ГОСТ 8510-86 данные. Площадь сечения А₁ = 12,6 см², осевые моменты инерции J_x = 127 см⁴, J_y = 39,2 см⁴, J_{u min} = 23,4 см⁴, , x₀ = 1,5 см, y₀ = 3,32 см.

  Координаты центра тяжести в системе осей  x₀C₀y₀ 

x₁ = 10 – 3,32 = 6,68 см, y₁ = 14 – 1,5 = 12,5 см.

Стандартное положение уголка по рис. 2 не совпадает с его фактическим положением по рис. 1. Поэтому осевые моменты инерции необходимо записать относительно осей x₁ и y₁:

= 39,2 см⁴, = 127 см⁴.

Центробежный момент инерции уголка необходимо вычислить. Ось u на рис. 2 или та же ось u₁ на рис. 1 являются главной осью уголка с минимальным осевым моментом. Угол наклона такой оси, вообще, вычисляется по формуле

.                                                (1)

При этом, если в результате вычислений получается знак плюс главная ось будет повернута против часовой стрелки, если знак минус – по часовой стрелке. По рис. 1 ось u₁ повернута на угол  по часовой стрелке. Отсюда следует, что угол отрицательный и к табличному значению тангенса следует приписать знак минус. Таким образом, для уголка по рис. 1 формула (1) принимает вид

.

Из неё находим центробежный момент инерции

Полученный знак минус подтверждается рисунком 1, т. е. большая часть уголка расположена во второй и четвёртой четвертях координатной плоскости, дающих отрицательные значения центробежного момента.

2.Лист. При аналогичных обозначениях

,   ,  ,

,    .

Оси x₂ и y₂ являются осями симметрии, поэтому центробежный момент инерции равен нулю, т. е. = 0.

3.Швеллер  №14. Изобразим его в положении, заданном  ГОСТ 8240-89, и выпишем данные

A₃ = 15,6 см², J_x = 491 см⁴, J_y = 45,4 см⁴.

С учётом того, что положения швеллера по рис. 1 и рис. 3 не совпадают, запишем для осей  x₃, y₃ на рис.1

= 45,4 см⁴, = 491 см⁴.

  Кроме того, по этим же рисункам

, .

  Ось y₃ является осью симметрии швеллера. Поэтому = 0.

  Приступим к непосредственным вычислениям по условию задачи.

Общая площадь сечения

A = A₁ + A₂ + A₃ = 12,6 + 9,8 + 15,6 = 38 см².

Координаты центра тяжести сечения

,

.

По этим значениям на рис. 1 намечаем точку С и через неё проводим центральные оси x и y.

Расстояния между параллельными вертикальными осями

_,

,

см.

Расстояния между параллельными горизонтальными осями

,

,

.

Осевые моменты инерции относительно центральных осей

Центробежный момент инерции относительно центральных осей

Главные моменты инерции

Углы наклона главных осей инерции

Как и следовало ожидать, главные оси перпендикулярны, т. е.

Главные радиусы инерции

Сечение в масштабе 1:2 вычерчено (рис. 1) с указанием основных размеров, осей, углов, используемых в расчётах или найденных в ходе вычислений.

Задача 8