РАСЧЁТЫ НА РАСТЯЖЕНИЕ – СЖАТИЕ

СТУПЕНЧАТОГО СТЕРЖНЯ С ЗАЗОРОМ

Прямолинейный упругий стержень с площадью поперечного сечения А, 2А, имеющий зазор Δ в недеформированном состоянии, нагружен вдоль оси силой F. Модуль упругости материала  Е = 200 ГПа, предел текучести σ_Т.

Вычислить значение силы F = F₀, при котором зазор закрывается; из расчёта по допускаемым напряжениям найти грузоподъёмность системы [F] и при этом значении силы построить эпюры N, s, u.

Второе число шифра	l м	A мм	D мм	sт МПа	nт
1	1,2	180	0,7	240	1,5
2	1,1	190	0,8	280	2,0
3	1,0	200	0,6	300	1,5
4	1,3	210	0,9	320	1,6

Пример решения

Исходные данные

Решение

На расчётной схеме а) рис. 1 изображён стержень в недеформированном состоянии, т. е. при F = 0. Проведём координатную ось z – ов. Вдоль неё стержень имеет три участка, как подписано на рисунке.

При возрастании силы вначале деформируется лишь первый участок. В системе возникает только одна опорная реакция R₁ (схема б). Её можно определить из уравнения равновесия, поэтому система статически определимая.

При некотором значении силы F = F₀ зазор закрывается, второй и третий участки стержня начинают деформироваться, а именно сжиматься. При указанной нагрузке деформация первого участка, вычисляемая по закону Гука, должна равняться величине зазора, т. е.

.

Отсюда находим

Напряжение в момент закрытия зазора в сечениях первого участка

.

Допускаемое напряжение

.

Напряжение в момент закрытия зазора значительно меньше допускаемого напряжения, т.е.

Отсюда следует, что грузоподъёмность стержня надо определять при закрытом зазоре. В этом случае уже появляется вторая опорная реакция R₂(схема в), в то время как для их определения имеется лишь одно уравнение равновесия. Это означает, что теперь система стала статически неопределимой.

  Величина силы, приложенной к стержню, пока неизвестна, она будет найдена позднее из условия прочности. Но составление условия прочности потребует использования формул для напряжений в сечениях, значит, продольных сил, опорных реакций и т. д.

Для определения опорных реакций составим уравнение равновесия

, .                                   (1)

К нему добавим уравнение деформаций

.

Здесь - общее удлинение всего стержня. Для его вычисления отбрасываем правую опору, но её действие заменяем неизвестной опорной реакцией . Тогда получается, что к стержню приложены две внешние активные силы: F и R₂ (схема г). По принципу независимости действия сил определяем удлинения от каждой из них и результаты суммируем

.

Упростим левую часть

.                                            (2)

Уравнения (1), (2) представляют систему уравнений относительно двух неизвестных R₁ и R₂. Отсюда получим

,      

Находим продольные силы в сечениях участков с помощью метода сечений

       (3)