Производные и дифференциалы высших порядков.

Если для функции y=f(x) определена производная у(к-1) порядка (к-1), то производную у(к) порядка к (при условии ее существования) определяют как производную от производной порядка (к-1), т.е. у(к) = (у(к-1))′ . В частности, у’’=(y’)’- производная второго порядка, y’’’=(y’’)’ – третьего и т.д.

 

Дифференциалы высших порядков ф-и y=f(v) последовательно определяются таким образом:

d2y=d(dy) – диф-л 2-го порядка

d3y=d(d2y)…

dny=d(d n-1 y) - диф-л n-го порядка

Формула Тейлора. Формула Маклорена.

Теорема Тейлора.

 Пусть функция f(x) имеет в точке x = a и некоторой ее окрестности производные порядка n+1. Тогда между точками a и x a найдется такая точка , что справедлива следующая формула:

Формула (10) называется формулой Тейлора, а выражение

представляет остаточный член в форме Лагранжа. Заметим, что если функция f⁽ⁿ⁺¹⁾(x) ограничена в окрестности точки a, тогда остаточный член является бесконечно малой при x a более высокого порядка, чем (x-a)ⁿ. Таким образом, остаточный член можно записать в виде

R_n+1(x) = o((x-a)ⁿ) при x a.

Данная форма записи остаточного члена называется формой Пеано.

Формулой Маклорена называется формула Тейлора при a = 0:

Остаточный член в форме Пеано для формулы Маклорена имеет вид

R_n+1 = o(xⁿ) при x 0.

Приведем разложения некоторых элементарных функций по формуле Маклорена

 

Найдите, исходя из

определения, производную функции f(x) в точке x₀:

26. f(x) = x³, x₀ - произвольное число.

Производной функции f(x) в точке x₀ называется предел отношения приращения функции в этой точке к приращению аргумента при стремлении последнего произвольным образом к 0.

f ’(x)= =

f(x) = x³  

f ′(x _о )= = = = =3

27. f(x)=sinx, x_о-произвольное число

Производной функции f(x) в точке x₀ называется предел отношения приращения функции в этой точке к приращению аргумента при стремлении последнего произвольным образом к 0.

f ’(x)= =

f ′(x _о )= = = =cosx₀

28. f(x)= , x_о =9

Производной функции f(x) в точке x₀ называется предел отношения приращения функции в этой точке к приращению аргумента при стремлении последнего произвольным образом к 0.

f ’(x)= =

f ’(x)= = = =1/6

29. f(x)= , x_о =1

Производной функции f(x) в точке x₀ называется предел отношения приращения функции в этой точке к приращению аргумента при стремлении последнего произвольным образом к 0.

f ’(x)= =

f ’(x)= = = = =-2

30. f(x)=x ½x½, x₀=0

Производной функции f(x) в точке x₀ называется предел отношения приращения функции в этой точке к приращению аргумента при стремлении последнего произвольным образом к 0.

f ’(x)= =

31.

Производной функции f(x) в точке x₀ называется предел отношения приращения функции в этой точке к приращению аргумента при стремлении последнего произвольным образом к 0.

f ’(x)= =

 

Найдите эластичность функции f (x) в точке x0:

38. f(x) = x⁴ , x₀ = 9.

Эластичностью функции y = f(x) в точке х₀ называется предел

f (x) = x⁴ => E ( x )= , при x₀ = 9.

39. f(x) = 3^x , x₀ = 5.

Эластичностью функции y = f(x) в точке х₀ называется предел

E ( x )=

40. Докажите, что эластичность произведения двух функций равна сумме их эластичностей .

Эластичность произведения ф-ий  и  в точке  равна сумме эластичностей ф-ций в этой же точке: . Эластичность равна E_y=x(lny)

Док-во: Пусть  тогда .

42. Сформулируйте теорему Ролля. Можно утвержд, что производная функции f(x) = (x-2)(x-3)(x-4)(x-5) обращается в нуль в трех точках интервала (2,5)?

Пусть ф-ция  непрерывна на отрезке [a;b], дифференцируема на интервале (a;b) и , то найдётся хотя бы одна точка , в которой .

Можно.

f(2)=0, f(3)=0, f(4)=0, f(5)=0 => существует С1из (2;3), такое, что f'(C1)=0, и тд 2, 3, 5, 4

43. Сформулируйте теорему Лагранжа. Докажите, что если f ′(x) = 0 на интервале (a,b), то функция f (x) постоянна на этом интервале.

Пусть функция f(x)

1. непрерывна на отрезке [a, b];

2. дифференцируема в интервале (a, b).

Тогда существует точка с О (a, b) такая, что f(b) − f(a) = f '(c) · (b − a)

 

=>