Свойства пределов функций.

Определение предела последовательности.

число А называется пределом последовательности {Хn}, если для любого положительного Е существует номер n0, начиная с которого все члены последовательности отличаются от А по модулю меньше, чем на Е.

Свойства пределов числовых последовательностей.

1)Сходящаяся последовательность имеет только один предел.

2) Сходящаяся последовательность ограничена. Мн-во чисел назыв. ограниченным, если сущ. такой отрезок [a,b] числовой оси, который содержит все числа из Х.

3)Если члены сход последовательности {Xn} удовлетворяют неравенству Xn>=b, то и lim Xn >= b

7. Правила вычисления пределов сходящихся последовательностей.

1) lim(Xn + Yn)= a+b 2) lim (Xn*Yn)=a*b 3)lim 1/Yn = 1/b, если у и б не равны 0 4) lim Xn/Yn= a/b

Определение ограниченной последовательности.

Ограниченная последовательность (ограниченная с обеих сторон последовательность) — это последовательность, ограниченная и сверху, и снизу. Ограниченная сверху последовательность — это последовательность элементов множества X, все члены которой не превышают некоторого элемента из этого множества. Этот элемент называется верхней гранью данной последовательности. Ограниченная снизу последовательность — это последовательность элементов множества X, для которой в этом множестве найдётся элемент, не превышающий всех её членов. Этот элемент называется нижней гранью данной последовательности.

9.Определение бесконечно малой последовательности.

Бесконечно малая последовательность — это последовательность, предел которой равен нулю.

10.Свойства бесконечно малых последовательностей.

1) Сумма двух бесконечно малых последовательностей сама также является бесконечно малой последовательностью. 2)Разность двух бесконечно малых последовательностей сама также является бесконечно малой последовательностью. 3) Алгебраическая сумма любого конечного числа бесконечно малых последовательностей сама также является бесконечно малой последовательностью. 4)Произведение ограниченной последовательности на бесконечно малую последовательность есть бесконечно малая последовательность. 5) Произведение любого конечного числа бесконечно малых последовательностей есть бесконечно малая последовательность. 6) Любая бесконечно малая последовательность ограничена.

Определение беск. большой последовательности.

Послед-ь {Xn} называется бб, если для любого положительного числа ε существует номер N такой, что при n > N выполняется неравенство |Xn| > ε. (lim (n→∞) Xn = ∞ ).

Свойства б.б.последовательностей.

1)б.б.последовательность является неограниченной.

2)Сумма б.б. и ограниченной послед-тей есть бесконечно большая послед-ть.

3)Сумма двух б.б. послед-тей одного знака есть б.б. того знака.

4)произведение б.б. послед-ти и ограниченной от нуля есть б.б. последовательность.

Определение монотонных последовательностей.

Последовательнсть {Хn} назыв.: возрастающей, если Хn<X(n+1) для всех n; невозрастающей, если Хn≤X(n+1) для всех n; убывающей, Хn>X(n+1) для всех n; неубывающей, Хn≥X(n+1) для всех n

Определение предела функции в точке.

Число а называется пределом функции f (x) в точке X₀ (или пределом при X→ X₀) если для любой сходящейся к точке X₀ послед-и значений аргумента, отличных от X0, соответствующая послед-ь значений функции сходится к числу а, т. е.

lim Xn = X₀ (Xn ≠ X₀) => lim f(Xn) = a; lim (X→ X₀) f(x) = a.

Свойства пределов функций.

1) Если   существует, то он единственный.

2)Если ф-ция f(x) имеет предел в точке X₀, то в некоторой окрестности этой точки ф-ция ограничена,т.е. сущ-ет такая (проколотая) окрестность точки X0 и такое число А>0,что│f(x)│≤А для всех Х из этой окрестности

3) Если для всех точек Х некоторой окрестности точки Х₀ выполняется неравенство f(x)≥b, то и limf(x)≥b, если только указанный предел существует.

4)Если в некоторой окрестности точки Х₀ имеем f(x)≥g(x), то и limf(x)≥limg(x), если только указанные пределы сущ-ют.

5)Пусть в некоторой окрестности точки Х₀ выполняются неравенства f(x)≥g(x)≥h(x),причём пределы f(x) и h(x) при Х→Х₀ сущ-ют и равны между собой .Тогда предел g(x) при Х→Х₀ также сущ-ет и равен тем пределам.