Многомерная оптимизация симплексный метод.

Многомерная оптимизация - оптимизация при нескольких управляющих переменных

Методы, использующие только значения функции:

ü Метод покоординатного спуска (метод Гаусса);

ü Метод деформируемого многогранника (симплексный метод);

ü Метод Хука–Дживса;

ü Алгоритм Розенброка;

ü Метод Пауэлла и сопряженные направления.

Методы, требующие вычисления первых производных функции (градиента):

ü Метод градиентного спуска;

ü Метод Ньютена;

ü Метод сопряженных градиентов;

ü

Линии постоянного уровня. «Рельеф функции» удобно рассмотреть на примере функции двух переменных z= F( x, y). Это функция описывает некоторую поверхность в трехмерном пространстве с координатами z, x, y. Задача F( x, y)→ min означает поиск низшей точки этой поверхности. Проведем сечения поверхности равно отстоящими плоскостями, которые параллельны плоскости изменения

переменных x и y. Линии этих сечений проецируем на плоскость изменения переменных. Получим концентрические окружности.

    Эти линии называются линиями постоянного уровня. Основная характеристика любой из линий это то, что в любой точке этой линии значение функции постоянно.

Симплексный метод

 Симплексом называется многогранник, имеющий n+1 вершину, где n - число факторов, влияющих на процесс (число поисковых переменных).

Начальная серия опытов соответствует вершинам исходного симплекса (точки 1, 2 и 3). Условия этих первых опытов берутся из области значений факторов, соответствующих наиболее благоприятным из известных режимов оптимизируемого процесса.

Сравнивая между собой результаты опытов в точках 1, 2 и 3, находят среди них самый «плохой», с точки зрения выбранного критерия оптимальности. Пусть, например, самым «неудачным» оказался опыт в точке 1. Этот опыт исключают из рассмотрения, а вместо него в состав симплекса вводят опыт в точке 4, которая симметрична точке 1 относительно противоположной стороны треугольника, соединяющей точки 2 и 3.

Далее сравнивают между собой результаты опытов в вершинах нового симплекса, отбрасывают самый «неудачный» из них и переносят соответствующую вершину симплекса в точку 5. Затем рассмотренная процедура повторяется в течение всего процесса оптимизации.

Если экстремум критерия оптимальности достигнут, то дальнейшее движение симплекса прекращается. Это значит, что новый шаг возвращает исследователя в предыдущую точку факторного пространства.

Матрица нормированных координат исходного симплекса для случая n-переменных

Условия каждого нового опыта рассчитываются по формуле

где n – число переменных;

j – номер опыта;

i – номер переменной;

x_{плохое, i} – значение i - ой переменной в самом «неудачном» опыте.

Если «плохой» опыт 1 то 4 находится

Вершина 4 (48; 4.48)