Определенный интеграл. Определение и геометрический смысл.

Определённым интегралом от функции f(x) на отрезке [a;b]называется предел интегральных сумм Θ_R при , если он существует независимо от разбиения R и выбора точек ξ_i, т.е. Геометрический смысл

Определённый интеграл как площадь фигуры Определённый интеграл численно равен площади фигуры, ограниченной осью абсцисс, прямыми x = a и x = b и графиком функции f(x).

24.Свойства определенного интеграла. Теорема о среднем значении. Если функция интегрируема на [a; b], то она интегрируема на любом отрезке  Для любых a, b и c

Интеграл обладает свойством линейности: для любых функций f (x) и g (x) и любой постоянной A

Если f (x) и g (x) интегрируемы на [a; b], то f (x) · g (x) также интегрируема на этом отрезке. Если f (x) – периодическая функция с периодом T, то для любого a

Теорема .Если f(x) - непрерывная функция, заданная на промежутке [a, b], то существует такая точка , что

В самом деле, пусть M и m наибольшее и наименьшее значения f(x) на промежутке [a, b]. Составим для f(x) какую-нибудь интегральную сумму Так как при всех k будет m ≤ f(ξ_k) ≤ M, а x_k+1 > x_k, то m(x_k+1 - x_k) ≤ M(x_k+1 - x_k). Складывая такие неравенства и замечая, что  получим: m(b - a) ≤ σ ≤ M(b - a). Переходя в этом неравенстве к пределу при λ → 0, приходим после деления на b - a к новому неравенству Таким образом, частное

есть число, лежащее между наибольшим и наименьшим значениями непрерывной функции. Как известно, тогда и само это число должно являться одним из значений той же функции. Поэтому в [a, b] обязательно существует такая точка ξ, что h = f(ξ), а это равносильно равенству

25.Интеграл с переменным верхним пределом и его свойства. Если функция f(t) непрерывна в окрестности точки t = x, то в этой точке функция Ф(x) дифференцируема, и .
Другими словами, производная определённого интеграла от непрерывной функции по верхнему пределу равна значению подынтегральной функции в этом пределе.
Док-во. Дадим верхнему пределу x приращение . Тогда , где c - точка, лежащая между x и  (существование такой точки утверждается теоремой о среднем; цифры над знаком равенства - номер применённого свойства определённого интеграла). . Устремим . При этом (c- точка, расположенная между x и ). Так как f(t) непрерывна в точке t = x, то . Следовательно, существует , и . Теорема доказана.

26.Формула Ньютона-Лейбица. Если f(x) непрерывна на отрезке [a, b], и F(x) - некоторая первообразная функции , то . Док-во. Мы установили, что функция - первообразная непрерывной f(x). Так как F(x) - тоже первообразная, то Ф(x) = F(x) + C. Положим в этом равенстве x = a. Так как , то . В равенстве переобозначим переменные: для переменной интегрирования t вернёмся к обозначению x , верхний предел x обозначим b. Окончательно, .
Разность в правой части формулы Ньютона-Лейбница обозначается специальным символом: (здесь читается как "подстановка от a до b"), поэтому формулу Ньютона-Лейбница обычно записывают так: .

27.Замена переменной и интегрирование по частям в определенном интеграле. Интегрирование по частям. Если u(x), v(x) - непрерывно дифференцируемые функции, то  Замена переменной. Пусть функция  определена, непрерывно дифференцируема и монотонна на отрезке , , функция непрерывна на отрезке [a, b].Тогда