Непрерывность функции.Точки разрыва функции и их классификация.

Свойства бесконечно малых

• Сумма конечного числа бесконечно малых — бесконечно малая.
• Произведение бесконечно малых — бесконечно малая.
• Произведение бесконечно малой последовательности на ограниченную — бесконечно малая.

 

2.Свойсва конечных пределов. 

Теорема 2.8 Пусть функции и имеют пределы при одной и той же базе :

Тогда функция также имеет предел при базе , и этот предел равен сумме пределов слагаемых:

Доказательство. Равенство означает, в соответствии с теоремой 2.4, что величина -- бесконечно малая; равенство -- что -- бесконечно малая. Поэтому по теореме 2.5 сумма

также является бесконечно малой. Теорема 2.4 утверждает, что тот факт, что разность бесконечно мала, означает, что ; это и требовалось доказать.

Теорема 2.9 Пусть функции и имеют пределы при одной и той же базе :

Тогда функция также имеет предел при базе , и этот предел равен произведению пределов сомножителей:

Доказательство. Равенство означает, в соответствии с теоремой 2.4, что величина -- бесконечно малая; равенство -- что -- бесконечно малая. Поэтому и , откуда

или

Покажем, что в правой части этого равенства стоит бесконечно малая величина. Величина -- бесконечно малая согласно следствию 2.3, а величина -- бесконечно малая по теореме 2.7 (величина имеет предел, равный 0, и, следовательно, локально ограничена по теореме 2.6). Поскольку разность между функцией и постоянной бесконечно мала при базе , то по теореме 2.4 ; это и требовалось доказать.

 

3.Первый и второй замечательный предел.

Доказательства

 

Рассмотрим односторонние пределы и и докажем, что они равны 1.

Пусть . Отложим этот угол на единичной окружности (R = 1).

Точка K — точка пересечения луча с окружностью, а точка L — с касательной к единичной окружности в точке (1;0). Точка H — проекция точки K на ось OX.

Очевидно, что: (1) (где S_sectOKA — площадь сектора OKA)

(из : | LA | = tgx)Подставляя в (1), получим:

Так как при Умножаем на sinx:

Перейдём к пределу:

Найдём левый односторонний предел:

Правый и левый односторонний пределы существуют и равны 1, а значит и сам предел равен 1.

 2 предел.  

Непрерывность функции.Точки разрыва функции и их классификация.

Определение 3.1 Пусть функция определена на некотором интервале , для которого -- внутренняя точка. Функция называется непрерывной в точке , если существует предел при и этот предел равен значению , то есть

 

Точки разрыва. Точках=а наз точкой разрыва если в точке а эта фукция не определена либо определена но нарушено условие непрерывности. 1.точка устранимого разрыва.                          f(a-0)=f(a+0)≠f(a) 2.точка разрыва первого рода. f(a-0)≠f(a+0) 3.точка разрыва второго рода. Если в точке функция не имеет по крайне мере одного из односторонних пределов или хотя бы один из односторонних пределов равен бесконечности.

5.Определение производной и её геометрический смысл. Пусть в некоторой окрестности точки определена функция Производной функции f в точке x₀ называется предел, если он существует,

Геометрический смысл. Если функция имеет конечную производную в точке x₀, то в окрестности U(x₀) её можно приблизить линейной функцией

Функция f_l называется касательной к f в точке x₀. Число f'(x₀) является угловым коэффициентом или тангенсом угла наклона касательной прямой.

6 Уравнения касательной и нормали (с выводом).

Касатаельной к графику ф-ции в точке Х0 является предельное положение секущей , при условии, что М->М0 k=tgβ; tgα= lim tgβ=lim AM/AM0= lim ∆y/∆x= y’(x0) ∆x->0 ∆x->0 ∆x->0 y’(x0)=tgα y-y0=k(x-x0) - уравнение прямой, проходящей через заданную точку с заданным коэффициентом k=tgα=f'(x0) y-f(x0)=f'(x0)(x-x0) y=f(x) уравнение касательной: y=f’(x0)(x-x0)+f(x0)=f(x0)+(f(x0)-f’(x0)x0)

 

 

Нормалью к графику функции y=f(x) в точке х0 называется прямая ⊥ касательной, проходящей через точку х0 Необходимое и достаточное условие перпендикулярности прямой : (l1⊥l2)<=>(k1= -1/k2) kn=1/f'(x0); a)f'(x0)≠0, б) f’(x0)=0 Уравнения нормали: а)y-f(x0)= (-1/f’(x0))*(x-x0);б)y=x0 y=(-1/f'(x0))+f(x0)+ x0/f'(x0)

 

7. таблица производных

 

 

Вывод производных следующих функций: .!!!!!!!

 

9. Определение дифференцируемости ф.Теорема о связи непрерывности с дифференцируемостью. Функция f(x) называется дифференцируемой в точке , если её приращение в этой точке представимо в виде , где А – некоторая константа. , где .Иначе говоря, функция f дифференцируема в точке , если её приращение есть линейная функция относительно с точностью до бесконечно малых более высокого порядка, чем . 

Теорема 4.1 Пусть функция дифференцируема (дифференцируема слева, дифференцируема справа) в точке . Тогда непрерывна (соотв. непрерывна слева, непрерывна справа) в этой точке .

Доказательство. Из существования производной

следует, что

откуда

что и означает непрерывность функции в точке .

 

 

10.Определение дифференцируемости ф.Теорема о связи непрерывности с дифференцируемостью. Функция f(x) называется дифференцируемой в точке , если её приращение в этой точке представимо в виде , где А – некоторая константа. , где .Иначе говоря, функция f дифференцируема в точке , если её приращение есть линейная функция относительно с точностью до бесконечно малых более высокого порядка, чем .  

 

Для того чтобы ф-ция y=f(x) была дифференцируемой в точке x=x0, необходимо и достаточно существования в этой точке конечной производной f`(x0). При этом дельтаy = f`(x0)*deltax+alfa(deltax)*deltax

 

11.Дифференциал функции.Инвариантность формы дифф. Первого порядка.

Дифференциал -- это главная, линейная по , часть приращения функции.

Пусть ф-ция y=f(x) дифференцируема в точке х, а ф-ция х=fi(u) некоторой независимой перменной u дифференцируема в соответствующей точке u. Тогда справедливо равенство: dy=f`(x)dx=f`(u)du

12.Свойства функций непрерывных на отрезке.Теоремы Ролля и Лагранжа. (1)Если функция f(x) непрерывна на отрезке [a, b], то она ограничена на этом отрезке, т.е. существует такое число C> 0, что "x О [a, b] выполняется неравенство |f(x)| ≤ C.

(2) Если функция f(x) непрерывна на отрезке [a, b], то она достигает на этом отрезке своего наибольшего значения M и наименьшего значения m, т.е. существуют точки α, β О [a, b] такие, что m = f(α) ≤ f(x) ≤ f(β) = M для всех x О [a, b]

(3)Если функция f(x) непрерывна на отрезке [a, b] и на концах отрезка принимает ненулевые значения разных знаков, то на интервале (a, b) найдется по крайней мере одна точка ξ в которой f(ξ) = 0.

(4)Если функция f(x) непрерывна на отрезке [a, b], то она принимает на (a,b) все промежуточные значения между f(a) и f(b).

Теорема Ролля. Если функция непрерывна на отрезке [a;b] и дифференцируема на интервале (a;b), принимает на концах этого интервала одинаковые значения, то на этом интервале найдётся хотя бы одна точка, в которой производная функции равна нулю. Теорема Лагранжа. утверждает, что если функция f непрерывна на отрезке [a;b] и дифференцируема в интервале (a;b), то найдётся такая точка , что .Геометрически это можно переформулировать так: на отрезке [a;b] найдётся точка, в которой касательная параллельна хорде, проходящей через точки графика, соответствующие концам отрезка.

 

13.Правило Лопиталя для раскрытия неопределенностей вида 0/0 ∞/∞. Условия:

или ; g(x) и f(x) дифференцируемы в проколотой окрестности a; в проколотой окрестности a; существует , тогда существует .Пределы также могут быть односторонними.

 

 

14.Теорема о производной сложной функции. Пусть - функция, дифференцируемая в точке , - функция, дифференцируемая в точке , причем . Тогда - сложная функция независимого переменного , дифференцируема в точке и ее производная в этой точке вычисляется по формуле  

 

15.Монотонность функции на промежутке. Необходимые и достаточные условия. Моното́нная фу́нкция — это функция, приращение которой не меняет знака, то есть либо всегда неотрицательно, либо всегда неположительно.

Необходимое условие. Пусть функция непрерывна на (a,b), и имеет в каждой точке производную f'(x). Тогда

f возрастает на (a,b) тогда и только тогда, когда

f убывает на (a,b) тогда и только тогда, когда

Достаточное условие. Пусть функция непрерывна на (a,b), и имеет в каждой точке производную f'(x). Тогда

если то f строго возрастает на (a,b);

если то f строго убывает на (a,b).

 

16.Экстремумы функций.Необходимые и достаточные условия. Экстре́мум в математике — максимальное или минимальное значение функции на заданном множестве. Точка, в которой достигается экстремум, называется точкой экстремума. Необходимое условие. Если дифференцируемая функция y=f(x) имеет в точке x= x₀ экстремум, то ее производная в этой точке обращается в нуль.

Доказательство. Пусть для определенности в точке x₀ функция имеет максимум. Тогда при достаточно малых приращениях Δx имеем f(x₀+ Δx)<f(x₀), т.е. Но тогда

Переходя в этих неравенствах к пределу при Δx→ 0 и учитывая, что производная f '(x₀) существует, а следовательно предел, стоящий слева, не зависит от того как Δx → 0, получаем: при Δx → 0 – 0 f'(x₀) ≥ 0 а при Δx → 0 + 0 f'(x₀) ≤ 0. Так как f '(x₀) определяет число, то эти два неравенства совместны только в том случае, когда f '(x₀) = 0.

Доказанная теорема утверждает, что точки максимума и минимума могут находиться только среди тех значений аргумента, при которых производная обращается в нуль. Достаточное условие. Пусть функция непрерывна на некотором интервале, содержащем критическую точку x₀, и дифференцируема во всех точках этого интервала (кроме, быть может, самой точки x₀). Если при переходе слева направо через эту точку производная меняет знак с плюса на минус, то в точке x = x₀ функция имеет максимум. Если же при переходе через x₀ слева направо производная меняет знак с минуса на плюс, то функция имеет в этой точке минимум.

Таким образом, если

1. f '(x)>0 при x<x₀ и f '(x)<0 при x> x₀, то x₀ – точка максимума;
2. при x<x₀ и f '(x)>0 при x> x₀, то x₀ – точка минимума.

Доказательство. Предположим сначала, что при переходе через x₀ производная меняет знак с плюса на минус, т.е. при всех x, близких к точке x₀ f '(x)>0 для x< x₀, f '(x)<0 для x> x₀. Применим теорему Лагранжа к разности f(x) - f(x₀) = f '(c)(x- x₀), где c лежит между x и x₀.

1. Пусть x < x₀. Тогда c< x₀ и f '(c)>0. Поэтомуf '(c)(x- x₀)<0и, следовательно,

f(x) - f(x₀)<0,т.е. f(x)< f(x₀).

1. Пусть x > x₀. Тогда c> x₀ и f '(c)<0. Значитf '(c)(x- x₀)<0. Поэтому f(x) - f(x₀)<0,т.е.f(x) < f(x₀).

Таким образом, для всех значений x достаточно близких к x₀ f(x) < f(x₀). А это значит, что в точке x₀ функция имеет максимум.