Тензорные произведения пространств

3.1. Тензорные произведения пространств. Пусть  - конечная последовательность сепарабельных гильбертовых пространств,  - некоторый ортонормированный базис в Н_к.

Образуем формальное произведение

                                                                                   (3.1.)

α = (α₁,…, α_n)  (n раз), то есть рассмотрим упорядо-
ченную последовательность ( ) и на формальные векторы (3.1.) натянем гильбертово пространство, считая, что они образуют его ортонормиро-
ванный базис. Полученное сепарабельное гильбертово пространство называется тензорным произведением пространств Н₁,…, Н _n и обозначается Н₁ ,…, Н _n = . Его векторы имеют вид:

f=  (f _α C), || f||² = < ∞                                       (3.2.)

Пусть g= , тогда скалярное произведение опреде-
ляется формулой

( f, g) =                                                                                         (3.3.)

Пусть f^{( k)}= (к = 1,…, n) – некоторые векторы. По определению

f = f⁽¹⁾ _…  f⁽ⁿ⁾ =                                                            (3.4.)

Коэффициенты f _α =  разложения (3.4.) удовлетворяют условию (3.2.), поэтому вектор (3.4.) принадлежит , при этом

|| f || =                                                                                         (3.5.)

Функция Н₁ ,…, Н _n < >  линейна по каждому фрагменту, а линейная оболочка L векторов (3.4.) плотна в  - эта линейная оболочка называется алгебраическим (непополненным) тензорным произведением пространств Н₁,…, Н _n и обозначается α.

Приведенное определение тензорного произведения зависит от выбора ортогонального базиса в каждом сомножителе . При изменении базисов получаем тензорное произведение, изоморфное с сохранением своей структуры исходному произведению.

Пусть Н₁ и Н₂ – гильбертовы сепарабельные пространства. Тогда конструкция тензорного произведения означает следующее. Рассматривается линейная оболочка L формальных произведений f₁ f₂, причем считается, что

(f₁ + g₁)  f₂ = f₁  f₂ + g₁  f₂                 (3.6.)

f₁  (f₂ + g₂) = f₁  f₂ + f₁  g₂                 (3.7.)

(λ f₁)  f₂=λ (f₁  f₂)                                  (3.8.)

f₁  λ (f₂) = λ (f₁  f₂)                                (3.9.)

f₁, g₁ Н₁; f₂, g₂ Н₂; λ С.

Иными словами, линейное пространство L факторизируется по его линейному подмножеству, натянутому на всевозможные векторы, имеющие вид разностей между правыми и левыми частями равенств (3.6.) – (3.9.).

Затем вводится скалярное произведение в L.

(f₁  f₂ , g₁  g₂ ) = (f₁ g₁)(f₂ g₂)                                                         (3.10.)

f₁, g₁ Н₁; f₂, g₂ Н₂,

а затем распространяется на другие элементы из факторизованного L билинейным образом.

3.2. Тензорные произведения операторов. Определим тензорное произведение ограниченных операторов.

Теорема 3.1. Пусть ,  - две последовательности гильбер-
товых пространств,  - последовательность операторов А_к L(Н_к, G_к). Определим тензорное произведение А₁  … А _n = А_к формулой

( ) f = ( ) =         (3.11.)

(f ).

Утверждается, что ряд в правой части (3.11.) сходится слабо в и определяет оператор  L ( , ), причем

                           || || = || ||                                     (3.12.)

Доказательство. Достаточно рассмотреть случай n=2, так как в силу равенства Н₁ ,…, Н _n = (Н₁ ,…, Н _n-1) Н _n общий случай получается по индукции.

Пусть - некоторый ортонормированный базис в G_к (к = 1, 2) и пусть g =   G₁ G₂. В качестве f  возьмем вектор из Н₁  Н₂ с конечным числом отличных от нуля координат f_α.

Зафиксируем α₂, β₁  Z₊ и обозначим через f(α₂) Н₁ вектор f(α₂) =  и через g(β₁) G₂ – вектор g(β₁) = . Получим

= =

= ≤ =

= ≤ =

=

Из этого неравенства следует слабая сходимость в G₁ G₂ ряда  уже при произвольном c Н₁ Н₂ и оценка его нормы в G₁ G₂ сверху через ||A₁|| ||A₂|| ||f||. Таким образом, оператор A₁ A₂: Н₁  Н₂ →G₁ G₂ определен посредством (3.11.) корректно, ограничен и его норма не превосходит ||A₁|| ||A₂||.

Из (3.5.) и (3.11.) следует

||(A₁ A₂) (f₁ f₂)|| = ||A₁   f₁||||A₂ f₂|| (f_к Н_к , к = 1, 2)

Подбирая должным образом орты f₁, f₂ последнее произведение можно сделать сколь угодно близким к ||A₁|| ||A₂||, поэтому неравенство ||(A₁ A₂)|| ≤ ||A₁|| ||A₂|| не может выполняться, то есть (3.12.) при n=2 доказано.

Из (3.11.) получаем для А_к L(H_к, G_к), В_к L(H_к, G_к) (к = 1,…, n) соотношения

( В_к) ( А_к) = (В_к А_к)                                                              (3.13.)

( А_к)* = А_к*                                                                                (3.14)

( А_к) (f₁  … f _n) = A₁  f₁ …  A_n  f_n                                     (3.15.)

(f_к H_к; к = 1,…, n)

(3.15) однозначно определяет оператор А_к.

Приведем пример. Пусть H_к = L²( (0,1), d ( m_к)) = L²

Действительно, вектору вида (3.1.)      поставим в соответствие функцию   L². Такие функции образуют ортонормированный базис пространства L², поэтому такое соответствие порождает требуемый изоморфизм между и L².