Определения и простейшие свойства представлений.

Определение 2.1. Пусть А - *-алгебра, Н – гильбертово пространство. Представлением А в Н называется *-гомоморфизм *-алгебры А в *-алгебру ограниченных линейных операторов L ( H ).

Иначе говоря, представление *-алгебры А в Н есть такое отображение из А в L ( H ), что

π ( x + y ) = π ( x ) + π ( y ), π (α x ) = α π( x ),

π ( xy ) = π ( x ) π ( y ), π ( x *) = π ( x )*

для любых х, y  А и α  С.

Размерность гильбертова пространства Н называется размеренностью π и обозначается dimπ. Пространство Н называется пространством представления π.

Определение 2.2. Два представления π₁ и π₂ инволютивной алгебры А в Н₁ и Н₂ соответственно, эквивалентны (или унитарно эквивалентны), если существует унитарный оператор U, действующий из гильбертова пространства Н₁ в гильбертово пространство Н₂, переводящий π₁(х) в π₂(х) для любого х А, то есть

U π₁(х) = π₂(х) U     для всех х  А.

Определение 2.3. Представление π называется циклическим, если в пространстве Н существует вектор f такой, что множество всех векторов π (х) f (для всех х А) плотно в Н. Вектор f называют циклическим (или тотализирующим) для представления π.

Определение 2.4. Подпространство Н₁ Н называется инвариантным, относительно представления π, если   π (А)Н₁ Н₁.

Если Н₁ инвариантное подпространство, то все операторы π(х) (х А) можно рассматривать как операторы Н₁. Сужения π(х) на Н₁ определяют подпредставления π₁ *-алгебры А в Н₁.

Теорема 2.1. Если Н₁ инвариантное подпространство Н, то его ортогональное дополнение также инвариантно.

Доказательство. Пусть f ортогонален к Н₁, то есть ( f , g ) = 0 для всех g Н₁. Тогда для любого х А (π(х) f , g) = (f, π(х)*g) = (f, π(х*) g) = 0, так как π(х*) g Н₁. Следовательно, вектор π(х) f также ортогонален к Н₁.

Обозначим через Р₁ оператор проектирования в Н на подпространство Н₁ Н₁.

Теорема 2.2. Н₁ – инвариантное подпространство тогда и только тогда, когда все операторы представления перестановочны с оператором проектирования Р₁ на Н₁.

Доказательство. Пусть Н₁ – инвариантное подпространство и f Н₁, но также π(х) f Н₁. Отсюда для любого вектора f Н

π(х)Р₁f Н₁

следовательно, Р₁π(х)Р₁f = π(х)Р₁f ,

то есть Р₁π(х)Р₁ = π(х)Р₁.

Применяя операцию инволюции к обеим частям этого равенства и подставляя затем х* вместо х, получаем, что также

Р₁π(х)Р₁ = Р₁π(х).

Следовательно, Р₁π(х) = π(х)Р₁; операторы Р₁ и π(х) коммутируют.

Обратно, если эти операторы перестановочны, то для f Н₁

Р₁π(х) f = π(х)Р₁f = π(х) f ;

Следовательно, также π(х) f Н₁. Это означает, что Н₁ – инвариантное подпространство.

Теорема 2.3. Замкнутая линейная оболочка К инвариантных подпрост-
ранств есть также инвариантное подпространство.

Доказательство. Всякий элемент g из К есть предел конечных сумм вида

h = f ₁ + … + f_n, где f ₁, …, f_n – векторы исходных подпространств. С другой стороны, π(х) h = π(х) f ₁ +…+ π(х) f_n есть сумма того же вида и имеет своим пределом π(х) g.

2.2. Прямая сумма представлений. Пусть I – произвольное множество. Пусть (π_i ) _{i I} - семейство представлений *-алгебры А в гильбертовом пространстве Н _i (i I). Пусть

|| π_i ( х) || ≤ с_х

где с_х – положительная константа, не зависящая от i.

Обозначим через Н прямую сумму пространств Н _i, то есть Н = Н _i. В силу (2.1.) можно образовать непрерывный линейный оператор π(х) в Н, который индуцирует π_i (х) в каждом Н _i. Тогда отображение х → π(х) есть представление А в Н, называемое прямой суммой представлений π_i  и обозначаемое π_i или π₁ ….. π_n в случае конечного семейства представлений (π₁…..π_n). Если (π_i) _{i I} – семейство представлений *-алгебры А, совпадающих с представлением π, и если CardI = c, то представления π_i обозначается через сπ. Всякое представление, эквивалентное представлению этого типа, называется кратным π.

Для доказательства следующего понадобится лемма Цорна. Напомним ее.

Лемма Цорна. Если в частично упорядоченном подмножестве Х всякое линейно упорядоченное подмножество имеет в Х верхнюю грань, то Х содержит максимальный элемент.

Теорема 2.4. Всякое представление есть прямая сумма цикличных представлений.

Доказательство. Пусть f ₀ ≠ 0 – какой-либо вектор из Н. Рассмотрим совокупность всех векторов π(х) f ₀, где х пробегает всю *-алгебру А. Замыкание этой совокупности обозначим через Н₁. Тогда Н₁ – инвариантное подпространство, в котором f ₀ есть циклический вектор. Другими словами, Н₁ есть циклическое подпространство представления π.

Если Н₁ = H, то предложение доказано; в противном случае H -Н₁ есть отличное от {0} инвариантное подпространство. Применяя к нему тот же прием, мы выделим циклическое подпространство Н₂ ортогональное Н₁.

Обозначим через М совокупность всех систем {Н_α}, состоящих из взаимно ортогональных циклических подпространств представления; одной из таких систем является построенная выше система {Н₁, Н₂}. Упорядоченная при помощи соотношения включения совокупность М образует частично упорядоченное множество, удовлетворяющее условиям леммы Цорна; именно, верхней гранью линейно упорядоченного множества систем {Н_α} М будет объединение этих систем. Поэтому в М существует максимальная система {Н_α}. Но тогда Н= Н_α; в противном случае в инвариантном подпространстве Н-( Н_α) существовало бы отличное от {0} циклическое подпространство Н₀ и мы получили бы систему {Н_α} Н₀ М, содержащую максимальную систему {Н_α}, что невозможно.