Временные характеристики систем

ЗАДАНИЯ ДЛЯ ПРАКТИЧЕСКИХ РАБОТ

Дифференциальные уравнения элементов систем автоматического управления

Рассмотрим составление дифференциальных уравнений систем автоматического управления на примере пассивных электрических цепей относительно входных и выходных напряжений.

Для составления дифференциальных уравнений электрических цепей удобно пользоваться операторной формой записи сопротивлений: индуктивного LP, емкостного 1 /CP и активного R, где  – символ(или оператор) дифференцирования.

Для электрической цепи (рис. 3.1) требуется составить дифференциальное уравнение относительно входного Uвх(t) и выходного Uвых(t) напряжений.

Рис. 3.1. Схема электрической цепи

Используя закон Ома, определяется значение тока, протекающего по цепи,

.                                                (3.1)

Тогда

.                                            (3.2)

На основании двух уравнений получим

,                                    (3.3)

упростив выражение

.                                (3.4)

Для получения дифференциального уравнения необходимо переписать уравнение

.                    (3.5)

Учитывая, что , а , получается искомое дифференциальное уравнение электрической цепи:

.    (3.6)

Задание на работу

Дано: схема электрической цепи и ее параметры.

Требуется составить дифференциальное уравнение электрической цепи относительно входного Uвх(t) и выходного Uвых(t) напряжений.

В отчете представить:

1) задание для практической работы и вариант задания;

2) порядок выполняемых действий с комментариями;

3) промежуточные и окончательные результаты.

Временные характеристики систем

Дифференциальное уравнение объекта управления имеет вид

.                           (3.7)

Требуется найти переходную характеристику.

На основе выражения (1.3) вынужденная составляющая решения yвын(t) = 1.

Составляем характеристическое уравнение:

Находим корни уравнения:

Р₁ = –0,01127, Р₂ = –0,08873.

Согласно формуле (1.5) свободная составляющая решения:

 Общее решение, как сумма y_св(t) и y_вын(t)

Для определения постоянных интегрирования используем началь-ные условия. Найдем производную:

Начальные условия дают систему уравнений

из которой находим

c1 = -1,1455;

c2 = 0,1455.

Подставляя постоянные интегрирования в общее решение, получаем искомое решение поставленной задачи:

                  (3.9)

Задаваясь рядом значений времени (t = 0, 10…200), строим зависимость y(t).

Задание на работу

Дано: дифференциальное уравнение элемента системы автоматиче- ского управления и его коэффициенты.

Требуется решить дифференциальное уравнение элемента и найти переходную характеристику.

В отчете представить:

1. задание для практической работы и вариант задания;

2. порядок выполняемых действий с комментариями по решению дифференциального уравнения элемента;

3. расчет переходной характеристики элемента

4. график переходной характеристики.