Линейные однородные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами

Рассмотрим линейное дифференциальное уравнение вида y′′+py′+qy=0,где p, q − постоянные коэффициенты.
Для каждого такого дифференциального уравнения можно записать так называемое характеристическое уравнение : k^2+pk+q=0. Обшее решение однородного дифференциального уравнения зависит от корней характеристического уравнения, которое в данном случае будет являться квадратным уравнением. Возможны следующие случаи:

1. Дискриминант характеристического квадратного уравнения положителен: D>0. Тогда корни характеристического уравнения k1 и k2 действительны и различны. В этом случае общее решение описывается функцией y(x)=C1ek1x+C2ek2x, где C1 и C2 − произвольные действительные числа.

2. Дискриминант характеристического квадратного уравнения равен нулю: D=0. Тогда корни действительны и равны. В этом случае говорят, что существует один корень k1 второго порядка. Общее решение однородного дифференциального уравнения имеет вид: y(x)=(C1x+C2)ek1x.

3. Дискриминант характеристического квадратного уравнения отрицателен: D<0. Такое уравнение имеет комплексно-сопряженные корни k1=α+βi,k2=α−βi. Общее решение записывается в виде y(x)=eαx[C1cos(βx)+C2sin(βx)].

Рассмотренные три случая удобно представить в виде таблицы:

Линейные неоднородные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами правой частью специального вида

Общее решение y_ОН линейного неоднородного дифференциального уравнения L(y)=b(x) есть сумма общего решения y_ОО соответствующего однородного уравнения L(y) = 0 и какого - либо частного решения y_ЧНисходного неоднородного уравнения. Для уравнений с постоянными коэффициентами и правой частью специального вида это частное решение может быть найдено достаточно просто.

Функцию , где P_j(x) - некоторые полиномы (многочлены), назовём квазиполиномом. По теореме о наложении решений, если y_j , j=1,2,..,m - решения уравнений L(y) = b_j(x), то есть решение уравнения . Поэтому, не умаляя общности, будем считать, что правая часть уравнения L(y) = b(x) с постоянными коэффициентами имеет вид b(x) = P(x)e^λx. В частности, если λ=α+βi - комплексное число, то наиболее общей правой частью указанного типа является функция

(1)

у которой P(x)и Q(x)- некоторые полиномы. Справедлив следующий результат.
Теорема. Линейное дифференциальное уравнение

С постоянными коэффициентами и правой частью вида (1) имеет частное решение

,

где k - кратность корня α+βi характеристического полинома соответствующего однородного уравнения, R(x) , S(x) - полиномы, подлежащие определению, степень которых равна максимальной степени полиномов P(x) , Q(x).