Испытания по схеме Бернулли.

 

Так называется следующая серия независимых испытаний. Пусть производится n испытаний. В i-том испытании может осуществиться случайное событие Ai с вероятностью Рi,i=1,…,n. Все события А i независимы в совокупности. То есть вероятность события А i не зависит от того, осуществляются или нет события А j,j=1,…,n, j i. Рассмотрим здесь такой частный случай, когда все вероятности Рi равны друг другу и равны p,0‹p‹1. То есть

Р(А i )=p , P(Ai*)=q, q=1-p, 0‹p‹1, 0‹q‹1, i=1,…,n (13.1)

Например, пусть испытания состоят в том, что случайная точка  в i-том испытании обязательно появляется в квадрате со стороной равной единице. Событие А i состоит в том, что точка  оказывается в четверти круга, вписанного в квадрат и имеющего радиус равный единице (см.раздел7). Согласно (7.2) имеем

Р( Ai )=p=                                (13.2)

Справедливо следующее утверждение.

 

Теорема Бернулли: Пусть производится n испытаний по схеме Бернулли. Пусть события А i осуществились в m испытаниях.

Для любых чисел  и  найдется такое натуральное число N , что при числе испытаний n>N будетсправедливо неравенство

 

P(|m/n–p|< )>                                                   (13.3)

 

В самом деле, свяжем с i-тым испытанием случайную величину . Пусть эта величина принимает значение равное единице, если осуществляется событие А i , и  принимает значение равное нулю, если событие А i не осуществляется, т.е. осуществляется противоположное событие А i *. Вычислим математическое ожидание Е i и дисперсию Di случайной величины . Имеем

p q=p                                 (13.4)

 

p p p q q ∙p+p ∙q=p∙q∙(q+p)=p∙q∙1=p∙q (13.5)

 

Так как в нашем случае

                                    (13.6)

 

то из закона больших чисел (12.9),(12.10) получаем неравенство (13.3), если только

                                          (13.7)

 

Это и доказывает теорему Бернулли.

Например, если мы хотим проверить теорему Бернулли на примере вычисления числа π с точностью до  с вероятностью большей, чем , то нам надо сделать испытания по схеме Бернулли в соответствии с разделом 7, т.е. получить согласно текущему разделу неравенство

P(|m/n– π/4|<0.01)>0.99                                        (13.8)

Для этого согласно (13.7) достаточно выбрать число

 

                                 (13.9)

 

с большим запасом.

Такое испытание было сделано на компьютере по программе, приведенной в следующем разделе. Получилось

 

4∙m/n=3.1424                        (13.10)

 

Мы знаем, что число π=3.1415925626…. То есть действительно получилось число с точностью по крайней мере до 0.01.

 

14.Программа вычисления числа π по схеме Бернулли.

 

CLS

INPUT "Введите n=", n

RANDOMIZE

FOR i = 1 TO n

x = RND

y = RND

IF (x * x + y * y) < 1 THEN m = m + 1 ELSE m = m

NEXT i

pi = 4 * m / n

PRINT "pi = ", pi

Метод Монте-Карло.

 

Испытания по схеме Бернулли составляют основу вычислительного метода, который предложил Фон-Нейман для расчета сложных процессов. Например, для расчетов при создании атомной бомбы. Этот метод он назвал методом Монте-Карло в честь города, в котором идет игра в рулетку. Суть этого метода состоит в том, что подбираются такие испытания по схеме Бернулли, в которых вероятности событий А i и определяют интересующую вычислителя величину. Простейший пример вычисления по методу Монте-Карло и приведен в разделах 13,14 для числа π. Особенно удобно вычислять методом Монте-Карло площади и объемы сложных фигур и тел.

 

Стрельба по вепрю.

 

Задача 16.1.:

Три охотника стреляют по вепрю. Известно, что первый охотник попадает в цель с вероятностью 0.7. Второй – с вероятностью 0.5. Третий – с вероятностью 0.3. Результат стрельбы каждого из них не зависит от результатов стрельбы других. Все три охотника дали один залп.

Какова вероятность, что в вепря попали 2 пули?

 

Решение:

Назовем попадание первого охотника событием А1, попадание второго – А2, попадание третьего – А3.

Для того, чтобы попали две пули необходимо и достаточно, чтобы осуществилось одно и только одно из следующих трех несовместных событий:

В1-первый попал, второй попал, третий промазал, В1=А1 А2 А3*

В2-первый попал, второй промазал, третий попал, В2=А1 А2* А3

В3-первый промазал, второй попал, третий попал, В3=А1* А2 А3

 

Так как события попадания для разных стрелков независимы, то вероятности попадания равны произведению вероятностей. Поэтому

 

Р(В1)=Р(А1)∙Р(А2)∙Р(А3*)=0.7∙0.5∙0.7=0.245

Р(В2)=Р(А1)∙Р(А2*)∙Р(А3)=0.7∙0.5∙0.3=0.105

Р(В3)=Р(А1*)∙Р(А2)∙Р(А3)=0.3∙0.5∙0.7=0.105

Интересующее нас событие С=В1 В2 В3. Так как события В1,В2 и В3 несовместны, то вероятность объединения равна сумме вероятностей событий В i,i=1,2,3

 

Р(С)=Р(В1)+Р(В2)+Р(В3)=0.245+0.105+0.105=0.455            (16.1)

Ответ: Вероятность, что попали 2 пули равна 0.455.

Задача 16.2.:

Те же охотники дали залп по другому вепрю. Известно, что попали 2 пули.

Какова вероятность, что попал первый охотник?

 

Решение:

Интересующая нас вероятность есть условная вероятность Р(А1 | С) события А1 при условии, что произошло событие С. По формуле Бейеса имеем

Р(А1 |C )=P(C|A1)∙P(A1)/P(C)                   (16.2)

 

По определению условной вероятности P(C|A1) (3.1) и (3.2) имеем

 

P(C|A1)∙P(A1)=Р(С А1)                         (16.3)

Но событие С А1 происходит тогда и только тогда, когда происходит одно из двух несовместимых событий

 

С2=А2 А3* А1                                                 (16.4)

С3=А3 А2* А1                                                 (16.5)

То есть имеем

(С А1) =(А2 А3* А1) (А3 А2* А1)              (16.6)

Р(С А1) =Р(А2 А3* А1)+Р(А3 А2* А1)=0.5∙0.7∙0.7+0.3∙0.5∙0.7=

=0.245+0.105=0.35                                   (16.7)

Таким образом, согласно (16.2) для искомой условной вероятности Р( A1|C ) получим значение

Р( A1|C )=P(C|A1)∙P(A1)/P(C)=0.35/0.455=0.769                       (16.8)

Ответ: Вероятность того, что попал первый охотник при условии, что попало в вепря две пули равна 0.769.