Математическое ожидание.

Математическим ожиданием E(x) для случайной величины x , которая может принимать значения x  и только такие значения с вероятностями Р(x ) =Р , называют число, которое определяется равенством

                   i= k  i= k

          E(x)=∑xi·Рi, ∑ Рi=1, Рi≥0, i=1,…,k                              (10.1)

                   i=1 i=1

Например, в случае с игральной костью математическое ожидание количества очков x, которое выпадет, будет согласно (10.1) числом

E(x)=( 1 /6)∙(1+2+3+4+5+6)=(1/6)∙21=7/2=              (10.2)

Смысл понятия математического ожидания раскрывается в законе больших чисел. Этот закон проявляется следующим образом. Если сделать подряд очень большое число n независимых испытаний при одинаковых условиях, и таких, что каждый раз осуществляется одно из значений рассматриваемой случайной величины х, то с вероятностью очень близкой к единице, то есть практически наверняка и с большой степенью точности будет выполняться приближенное равенство

                    (x(1)+x(2)+…+x(n))/n ≈ E(x)               (10.3)

Здесь x(i)–значение случайной величины x, которое появляется в i-том испытании. Закон больших чисел обоснован теоретически при определенных аксиомах теории вероятностей и многократно подтвержден на практике.

Пусть некоторая случайная величина х* является суммой случайных величин

                                        (10.4)

тогда математическое ожидание E(x*) равно сумме математических ожиданий Е(х )

                                  (10.5)

Дисперсия случайной величины.

Дисперсией D(x) случайной величины х называют число, которое определяется по формуле

D(x)=E(x–E(x))                                         (11.1)

Поэтому дисперсия D ( x ) случайной величины х, которая может принимать значения  с вероятностями Р ,…Р  определяется, как число                              i=k              i=k j =k

           D(x)=∑(x –E(x)) ∙P =∑(x – ) ∙P             (11.2)

                     i=1             i=1 j=1

Например, в случае с игральной костью для дисперсии D(x) получаем следующее число

D(x)= =(1/6)∙((1-7/2) +(2-7/2) +(3-7/2) +(4-7/2) +(5-7/2) +(6-7/2) )=(1/6)∙(25/4+9/4+1/4+1/4+9/4+25/4)=(1/6)∙(35/2)=35/12      (11.3)

Пусть некоторая случайная величина х* является суммой (10.4) случайных величин . Пусть эти случайные величины независимы. Это означает, что вероятность, с которой может осуществиться то или иное значение случайной величины  не зависит от того, какое значение принимают другие случайные величины . Тогда доказывается, что дисперсия случайной величины х* является суммой дисперсии случайных величин

                                 (11.4)  

Важно заметить, что если случайные величины не являются независимыми, то дисперсия их суммы не обязательно равна сумме их дисперсий.

Закон больших чисел.

 В этом разделе приведу аккуратную формулировку закона больших чисел, которая восходит к замечательному математику нашей страны П.Л.Чебышеву. Пусть имеем некоторую случайную величину х. Выберем какое-нибудь положительное число М. Отберем те значения  случайной величины х, для которых выполняется условие

                                    (12.1)

Из выражения для дисперсии (11.2) и из неравенства (12.1) вытекает следующее неравенство

Р Р Р (12.2)

Здесь суммирование в (12.2) выполняется по тем индексам j, для которых выполнено неравенство.

Предположим теперь, что произведено n независимых испытаний. Пусть в i-том испытании осуществляется значение случайной величины . Пусть математические ожидания и дисперсии всех этих независимых случайных величин одинаковы. Тогда согласно материалу из разделов 10,11 для суммы

                                        (12.3)                                        

этих случайных величин и из (12.2) получаем следующее неравенство

Р

·Р                (12.4)

Так как случайные величины  независимы, то дисперсия их суммы равна сумме их дисперсий. Кроме того, все дисперсии  равны друг другу  и все математические ожидания  тоже равны друг другу . Поэтому из (12.4) получаем неравенство

Р                          (12.5)

Введем число ε=M /n. Тогда из (12.5) получаем неравенство

Р                        (12.6)

Отсюда для противоположного события

                                       (12.7)

из (12.6) получаем следующее неравенство П.Л.Чебышева

Р                          (12.8)

Таким образом, из (12.8) получается закон больших чисел П.Л.Чебышева:

Для любого сколь угодно малого положительного числа ε и числа β <1 найдется такое число N, что при числе испытаний n>N, будет справедливо неравенство

Р                        (12.9)

В самом деле, согласно (12.8) достаточно выбрать в качестве числа N наименьшее из натуральных чисел, удовлетворяющих неравенству , то есть

                                          (12.10)

Это означает следующее. Какие бы числа  и  мы ни выбрали, если сделать количество n независимых испытаний больше, чем число N, то среднее значение случайной величины будет отличаться от математического ожидания меньше, чем на ε с вероятностью большей, чем β. Иначе говоря, при неограниченном увеличении числа независимых испытаний среднее значение случайной величины стремится к математическому ожиданию Е с вероятностью, приближающейся к единице.