Подобие треугольников. Признаки подобия треугольников

Отношение отрезков AB и CD называется отношение их длин при данном выборе единицы измерения; т. е. число . Это число не зависит от выбора единицы измерения [5].

 Пусть в треугольниках АВС и А₁В₁С₁ углы соответственно равны: , , . В этом случае стороны АВ и А₁В_1, ВС и В₁С₁, СА и С₁А₁ называются сходственными.

Определение. Два треугольника называются подобными, если их углы соответственно равны и стороны одного треугольника пропорциональны сходственным сторонам другого.

, , , (1)

 (2)

Обозначение. АВС~ А₁В₁С₁.

Из определения подобных треугольников непосредственно вытекает, что если два треугольника равны, то они подобны; если один треугольник подобен другому, то и второй треугольник подобен первому; если первый треугольник подобен второму, а второй третьему, то первый треугольник подобен третьему треугольнику.

Подобие треугольников можно установить, проверив только некоторые из равенств (1) и (2).

Первый признак подобия треугольников.

Теорема 1.Если два угла одного треугольника соответственно равны двум углам другого, то такие треугольники подобны.

Доказательство. Пусть АВС и А₁В₁С₁ два треугольника, у которых , .

По теореме о сумме углов треугольника , поэтому, . Таким образом, углы треугольника АВС соответственно равны углам треугольника А₁В₁С₁. Так как  и , то по следствию (Если угол одного треугольника равен углу другого треугольника, то отношение площадей этих треугольников равно отношению произведений сторон, заключающих равные углы.).

 и .

Из этих равенств получаем: . Аналогично используя равенства , , получим . Итак, сходственные стороны треугольников АВС и А₁В₁С₁ пропорциональны, следовательно, треугольники подобны.

Второй признак подобия треугольников.

Теорема 2. Если две стороны одного треугольника пропорциональны двум сторонам другого треугольника и углы, заключённые между этими сторонами, равны, то треугольники подобны.

Доказательство. Пусть АВС и А₁В₁С₁ – два треугольника, у которых , . Докажем, что АВС~ А₁В₁С₁.

Для этого, учитывая первый признак подобия треугольников, достаточно доказать, что .

От луча АВ в полуплоскость, не содержащую точку С, отложим угол 1, равный углу А₁, а от луча ВА в туже полуплоскость отложим угол 2, равный углу В₁.

Т. к. , то , поэтому стороны углов 1 и 2, не принадлежащие прямой АВ, пересекаются в некоторой точке С₂ (рис. б). Треугольники АВС₂ и А₁В₁С₁ подобны по первому признаку подобия треугольников, поэтому . С другой стороны, по условию теоремы . Из этих двух равенств получаем: АС = АС₂. Следовательно, треугольники АВС и АВС₂ равны по первому признаку равенства треугольников (АВ – общая сторона; АС = АС₂, , т. к.  и ). Отсюда следует, что , а т. к. , то .

Третий признак подобия треугольников.

Теорема 3. Если три стороны одного треугольника пропорциональны трём сторонам другого треугольника, то треугольники подобны.

Доказательство. Пусть АВС и А₁В₁С₁ – два треугольника, стороны которых пропорциональны:

 (3)

Докажем, что АВС~ А₁В₁С₁. Для этого, учитывая второй признак подобия треугольников, достаточно доказать, что . Аналогично доказательству предыдущей теоремы (рис. б) построим треугольник АВС₂ так, чтобы , , . Треугольники АВС₂ и А₁В₁С₁ подобны по первому признаку подобия треугольников, поэтому . Сравнивая эти равенства с равенством (3), получаем: ВС=ВС₂, СА=С₂А. Следовательно, треугольники АВС и АВС₂ равны по третьему признаку равенства треугольников. Отсюда следует, , а т. к. , то . Таким образом, АВС~ А₁В₁С₁ по второму признаку подобия треугольников.

Рассмотренные признаки подобия треугольников являются основными признаками, имеются и другие признаки, позволяющие установить подобие треугольников на основе равенства каких - то углов и пропорциональности каких - то отрезков или величин связанные с треугольниками.

Треугольники АВС и А₁В₁С₁ подобны, если выполняется хотя бы одно из условий.

1.АВ>АС, , ;

2. , ;

3. , где BM, B₁M₁ - медианы треугольников;

4. , , где BH и B₁H₁ высоты треугольников.

Опытная работа

Цель опытной работы: выявление методических особенностей изучения темы «Подобные треугольники» в средней школе.

Идея: для выявления методических особенностей необходимо провести несколько уроков по разработанной методики, в конце обучения провести контрольную работу, при анализе которой можно судить о достижении цели.

Нами была изучена документация: журналы, характеристики учеников; проводились беседы с учителями, директором школы с целью знакомства с классом составление о нём первичных представлений.

Условия развития: опытная работа проводилась в средней школе №1 Завьяловского района села Завьялово в 8 классе. Состав класса 23 человека, успеваемость средняя (13 человек учатся на отлично и хорошо), учащиеся активны в познавательной деятельности, трудолюбивы, но не внимательны.

Проанализировав тематический план на период прохождения педагогической практики, в связи с ограниченностью во времени, опыт проводился в ходе 5 уроков по следующим темам «Определение подобных треугольников», «Первый признак подобия треугольников», «Второй признак подобия треугольников», «Решение задач», «Контрольная работа».

Рабочая гипотеза: если в процессе изучения темы «Подобные треугольники» использовать специально разработанную методику, направленную на решение задач устного характера, которая будет способствовать развитию учащихся за счет повышения уровня логического мышления, памяти, речи и внимания, то можно выявить методические особенности изучения темы «Подобные треугольники».

Основные задачи:

1) Выполнить теоретический анализ математической, учебной и методической литературы по вопросам выявления методических особенностей изучения темы «Подобные треугольники».

2) Создать доступную методику изучения темы «Подобные треугольники».

3) Выяснить влияние проводимых уроков на качество знаний учащихся.

4) Определить методические особенности изучения темы «Подобные треугольники».

Для решения поставленных задач были использованы следующие методы:

· изучение, анализ, сравнение математической, учебной и методической литературы по проблеме опытной работы;

· наблюдение за деятельностью учащихся и учителей;

· организация и проведение уроков по теме;

· количественная и качественная обработка данных, полученных при проведении опытной работы.

Экспериментальные материалы: разработки 5 уроков включающие в себя текст контрольной работы, наглядный материал для организации устной работы.

Ход: на уроке по теме «Определение подобных треугольников» учащиеся знакомятся с понятием, термином и определением подобных треугольниках. Вспоминают, в ходе устной работы, известные знания о треугольниках. Осмысляют и первично закрепляют учебный материал решением задач несущих дидактическую функцию. На следующем уроке учащиеся знакомятся с формулировкой и доказательством первого признака подобия треугольников. Вспоминают в ходе устной работы, ранее изученные сведения на которые, опирается доказательство признака. Осмысляют и первично закрепляют учебный материал решением задач несущих дидактическую функцию. Проводится самостоятельная работа с целью определения уровня усвоения знаний. В ходе изучения второго и третьего признака учащиеся решают много устных задач по готовым чертежам с целью развития у учащихся логического мышления, памяти, речи и внимания, а так же для повторения изученного материала. На уроне посвящённому решению задач осуществляется вторичное осмысление уже известных знаний, выработка умений и навыков по их применению. Проводится тест – самоконтроль с целью выявления уровня обученности учащихся. На пятом уроке поуровневая контрольная работа, которая позволяет закрепить и систематизировать знания, а так же определить степень и качество усвоения материала.

Результаты: после обработки результатов контрольной работы (оценка по 5-ой шкале) проведённой в экспериментальном классе, отметки, выставленные в порядке возрастания, составляют следующий вариационный ряд: 222 333333 4444444444 5555

Для удобства аналогичные данные обычно представляют в табличной форме.

Частотное распределение отметок учащихся за контрольную работу

Таким образом, качество знаний в данном классе 61%.

Аналогично рассуждая строиться полигон распределения по результатам контрольной работы в классе, в котором не проводилась разработанная методика. Здесь качество знаний – 32%.

Если сравнить полученные результаты, то в экспериментальном классе результаты лучше.

 Вывод: в ходе проделанной работы были выявлены методические особенности темы, которые ранее не были замечены и учтены. Ошибки, допускаемые при приведении разработанной методики, придется корректировать учителю по средствам индивидуальных занятий. В целом опыт показал, что устные задания способствуют хорошему усвоению материала, повышению работоспособности учащихся, появляется интерес к предмету, что способствует познавательной активности, развитию речи и способности не бояться рассуждать всё это благотворно влияет на весь процесс обучения в целом. Следует учитывать, что избыток устных упражнений приводит к недостаточному количеству времени на решение письменных задач.