Понятие преобразования

Изложение теории геометрических преобразований начнём с общих определений.

Определение. Отображением f множества X в множество Y называется такое соответствие, при котором каждому элементу x множества X соответствует вполне определённый элемент y множества Y.

O обозначение.f: X  Y

Элемент y называется образом элемента x, а элемент x называется прообразом элемента y при отображении f.

y= f(x)

Определение. Отображение f: X  Y называется

1) Инъективным (инъекцией), если каждым двум различным элементам множества X соответствуют два различных элемента множества Y.

2) Сюръективным (сюръекцией), если f(X) = Y, т. е. каждый элемент множества Y является образом, по крайней мере, одного элемента множества X.

3) Взаимно – однозначным или биективным (биекцией), если оно является одновременно сюръективным и инъективным.

Определение. Совокупность B всех элементов множества X, образами которых служат элементы множества B', являющегося подмножеством множества Y, называется полным прообразом множества B' при отображении f.

Определение. Если f(X) X, то говорят, что множество X отображается в себя. При f(X) =x говорят, что множество X отображается на себя.

Определение. Отображение f множества X на множество Y называется обратимым (взаимно - обратным), если образы любых двух различных элементов различны. В этом случае существует обратное отображение f^-1 множества Y на множество X.

Определение. Отображение множества X на множество Y называется взаимнооднозначным, если каждому элементу множества X ставиться в соответствии один и только один элемент множества Y, и каждый элемент множества Y поставлен в соответствии одному и только одному элементу множества X.

Таким образом, при взаимнооднозначном отображении множества X на множество Y.

1) каждому элементу множества X, ставится в соответствии некоторый элемент множества Y;

2) различным элементам множества X, ставится в соответствии различные элементы множества Y;

3) каждый элемент множества X поставлен в соответствие некоторому элементу множества Y.

Необходимый и достаточный признак преобразования данного множества – одновременное выполнение двух условий:

1) Каждый элемент множества имеет единственный образ в этом множестве;

2) Каждый элемент данного множества имеет единственный прообраз в этом множестве.

Определение. Пусть f и g – два преобразования множества X и для произвольного x X, f(х)=y, g(y)=z, причём y X, z X. Определим отображение , являющееся преобразованием множества X. Преобразование . Называется композицией (произведением) преобразования f и преобразования g. Пишут =g f( =g×f).

(х)=(g×f)(x)=g(f(x))=g(y)=z

Определение. Два преобразования f₁и f₂ одного итого же множества X называются равными, совпадающими, если для любого x X имеет место f₁(x)=f₂(x).

Определение. Преобразование e множества X называется тождественным, если для любого x X, имеет место e(x)=x. Поэтому для любого преобразования f множества e f=f e=e.

Определение. При любом преобразовании f объединение множеств отображается на объединение их образов

f (A B)=f(A) f(B).

Определение. При любом преобразовании пересечение множеств отображается на пересечение образов этих множеств

f (A B)=f(A) f(B).