Критерий принадлежности факторизуемой группы классическим классам конечных групп

2019-07-03

198

Обсуждений (0)

0.00 из 5.00 0 оценок

⇐ Предыдущая 1 234 5 Следующая ⇒

В работе [3] А.Ф. Васильевым была предложена задача об описании наследственных насыщенных формаций, замкнутых относительно произведения подгрупп и , у которых любая силовская подгруппа -субнормальна в . В этой же работе было получено описание таких формаций в классе конечных разрешимых групп. Развитию данного направления были посвящены работы [4, 16].

В данном разделе найдены серии наследственных насыщенных формаций, не входящих в класс конечных разрешимых групп, обладающих отмеченным выше свойством.

В теории классов групп важную роль играет класс всех -групп ( --- некоторое множество простых чисел), который обозначается через . Большинство важнейших классов групп можно построить из классов вида с помощью операций пересечения и произведения классов.

Напомним, что произведением классов групп и называется класс групп , который состоит из всех групп , таких, что в найдется нормальная -подгруппа с условием .

Пусть --- множество всех натуральных чисел. Обозначим через некоторое подмножество из . Пусть , --- некоторые множества простых чисел, а , --- классы всех -групп и -групп соответственно. В дальнейшем рассматриваем формации вида:

Напомним, что группа называется -замкнутой ( -нильпотентной), если ее силовская -подгруппа (силовское -дополнение) нормальна в . Группа называется -разложимой, если она одновременно -замкнута и -нильпотентна.

Через обозначим дополнение к во множестве всех простых чисел, если , то вместо будем просто писать . Тогда --- класс всех -нильпотентных групп, --- класс всех -замкнутых групп, --- класс всех -разложимых групп, --- класс всех нильпотентных групп, где пробегает все простые числа.

Группа называется -нильпотентной ( -разложимой), если она -нильпотентна ( -разложима) для любого простого числа из . Классы всех -нильпотентных ( -разложимых) групп можно записать в виде

Группа называется -замкнутой, если она имеет нормальную -холлову подгруппу. Тогда --- класс всех -замкнутых групп.

2.1 Лемма. Пусть --- наследственная формация. Если --- -субнормальная -подгруппа группы , то композиционные факторы группы содержатся среди композиционных факторов групп из .

Доказательство. Если , то лемма верна. Пусть . Тогда содержится в -нормальной максимальной подгруппе группы . По индукции, . Так как , то . Отсюда, и из , получаем . Лемма доказана.

2.2 Лемма. Пусть --- наследственная формация, --- класс всех групп. Тогда формация совпадает с формацией .

Доказательство леммы осуществляется непосредственной проверкой.

2.3 Теорема [10-A, 13-A]. Пусть --- наследственная формация. Тогда всякая формация , представимая в виде , содержит любую группу , у которой и силовские подгруппы из подгрупп и -субнормальны в .

Доказательство. Пусть --- формация указанного вида и --- такая группа, что , где и любая силовская подгруппа из и -субнормальна в . Индукцией по порядку докажем, что . Рассмотрим сначала случай, когда --- класс всех групп.

Пусть --- минимальная нормальная подгруппа из . Ясно, что любая силовская подгруппа из и имеет вид , , где и --- силовские подгруппы из и соответственно. Согласно лемме 3.1.5, и --- -субнормальные подгруппы фактор-группы . По индукции, . Так как --- формация, то отсюда следует, что имеет единственную минимальную нормальную подгруппу . Очевидно, что . Так как --- насыщенная формация, то нетрудно показать, что .

Пусть --- силовская подгруппа из . Покажем, что .

Пусть --- абелева группа. Так как --- -субнормальная подгруппа группы , то, согласно теореме 2.2.8, .

Пусть --- неабелева группа. В этом случае есть прямое произведение изоморфных неабелевых простых групп и .

Рассмотрим подгруппу . Согласно лемме 3.1.5, --- -субнормальная подгруппа группы . Пусть . Так как и --- собственная -субнормальная подгруппа группы , то равенство невозможно. Итак, .

Так как и --- насыщенная формация, то . Отсюда следует, что

А это значит, что . Если , то . Последнее равенство невозможно, так как согласно лемме 3.1.4 --- собственная -субнормальная подгруппа .

Итак, --- собственная подгруппа . Если , то

Так как и --- наследственная формация, то . Но тогда нетрудно заметить, что .

Так как , то согласно лемме 3.1.4, --- -субнормальная подгруппа. Так как и --- наследственная формация, то любая силовская подгруппа -субнормальна в . Согласно лемме 3.1.4, --- -субнормальная подгруппа группы . По индукции, . Отсюда следует, что для любой .

Аналогичным образом доказывается, что для любой , где --- любая силовская подгруппа из . Из того, что , следует .

Рассмотрим два случая: и .

Пусть . Покажем, что .

Если --- абелева, то --- примарная -группа, где . Отсюда следует, что .

Если --- неабелева, то есть прямое произведение изоморфных неабелевых простых групп.

Так как --- нормальная подгруппа из , то

Так как , то очевидно, что . Так как , то для любой . Следовательно, .

Пусть теперь . Если --- неабелева, то . Тогда . Отсюда следует, что . А это значит, что . Отсюда следует, что , где --- любое простое число из .

Рассмотрим подгруппу , где --- любая силовская подгруппа из .

Если , то, как и выше, получаем, что .

Если , то, как и выше, получаем, что . Отсюда следует, что , где --- любое простое число из . Согласно лемме 2.2.9, любая силовская подгруппа группы есть , где --- силовские подгруппы из и соответственно. Отсюда следует, что любое простое число из принадлежит . Следовательно, . А это значит, что .

Пусть --- абелева группа, то . Но тогда .

Ввиду , получаем, что для любой . А это значит, что .

Пусть теперь --- произвольная наследственная формация и . По лемме 3.2.1, композиционные факторы группы содержатся среди композиционных факторов групп из . Это значит, что принадлежит .

Пусть . Так как , то ввиду леммы 3.2.2, силовские подгруппы из и -субнормальны в . По доказанному, . Так как , то, по лемме 3.2.2, . Теорема доказана.

2.4 Следствие (В.Н. Семенчук, Л.А. Шеметков [33]). Пусть --- наследственная формация. Тогда всякая формация вида является сверхрадикальной.

Доказательство. Пусть , где и --- -субнормальные -подгруппы группы . Так как --- наследственная формация, то согласно лемме 3.1.4, любая силовская подгруппа из (из ) -субнормальна в (соответственно в ). Отсюда, согласно лемме 3.1.4, любая силовская подгруппа из и из -субнормальна в . Теперь требуемый результат следует из теоремы 3.2.3.

2.5 Следствие (В.Н. Семенчук, Л.А. Шеметков [33]). Формация вида является сверхрадикальной.

2.6 Следствие. Пусть --- формация всех -нильпотентных групп. Тогда содержит любую группу , где и --- -субнормальные подгруппы группы , принадлежащие .

2.7 Следствие. Пусть --- формация всех -замкнутых групп. Тогда содержит любую группу , где и --- -субнормальные подгруппы группы , принадлежащие .

2.8 Следствие. Пусть --- формация всех -разложимых групп. Тогда содержит любую группу , где и --- -субнормальные подгруппы группы , принадлежащие .

2.9 Следствие [10-A, 13-A]. Пусть . Тогда формация содержит любую группу , у которой и силовские подгруппы из подгрупп и -субнормальны в .

2.10 Следствие [10-A, 13-A]. Пусть --- формация всех -нильпо- тентных групп. Тогда содержит любую группу , у которой силовские подгруппы из подгрупп и -субнормальны в .

2.11 Следствие [10-A, 13-A]. Пусть --- формация всех -замкнутых групп. Тогда содержит любую группу , у которой силовские подгруппы из подгрупп и -субнормальны в .

2.12 Следствие [10-A, 13-A]. Пусть --- формация всех -разложимых групп. Тогда содержит любую группу , у которой силовские подгруппы из подгрупп и -субнормальны в .

2.13 Лемма. Пусть --- непустая наследственная формация. Пусть все композиционные факторы группы принадлежат . Тогда следующие утверждения эквивалентны:

1) --- -субнормальная подгруппа группы ;

2) --- -достижимая подгруппа группы .

Доказательство. Пусть --- -субнормальная подгруппа группы . Тогда, по определению, --- -достижимая подгруппа группы .

Пусть --- -достижимая подгруппа группы . Тогда существует цепь

в которой для любого либо нормальна в , либо .

Пусть . Уплотним участок от до цепи до максимальной -цепи.

Ввиду утверждения 1) леммы 3.1.4, все подгруппы , содержащие , -субнормальны в . Пусть теперь нормальна в . Можно считать, что --- максимальная нормальная подгруппа (в противном случае уплотняем участок от до до композиционной -цепи). Ввиду условия леммы , т. е. . Пришли к рассматриваемому выше случаю. Теперь, ввиду утверждения 1) леммы 3.1.4, подгруппа -субнормальна в . Лемма доказана.

2.14 Лемма. Пусть --- наследственная насыщенная формация. Тогда следующие утверждения эквивалентны:

1) любая группа , где и любые силовские подгруппы из подгрупп и -субнормальны в , принадлежит ;

2) любая группа , где и любые силовские подгруппы из подгрупп и -достижимы в , принадлежит .

Доказательство. Покажем, что из 1) следует 2). Доказательство проведем индукцией по порядку группы .

Пусть --- минимальная нормальная подгруппа группы . Очевидно, что . Пусть --- произвольная -силовская подгруппа из . Ясно, что --- -силовская подгруппа из . По лемме 3.1.5, --- -достижимая подгруппа группы . Аналогичным образом доказыватся, что любая силовская подгруппа из -достижима в . Так как , то по индукции, . Предположим, что и --- две различные минимальные нормальные подгруппы группы . Выше показано, что , . Так как --- формация, то . Итак, имеет единственную минимальную нормальную подгруппу .

Покажем, что . Предположим противное. Тогда, как и выше, с учетом индукции можно показать, что . Так как --- наследственная формация, то . Итак, .

Рассмотрим следующие два случая.

1) Пусть --- абелева, тогда --- примарная группа. Так как --- насыщенная формация и , то . Как и выше, с учетом индукции можно показать, что . Теперь, с учетом леммы 3.2.13 и условия следует, что .