Некоторые базисные леммы

 

В теории конечных групп одним из основных понятий является понятие субнормальности подгрупп, введенное Виландтом в работе [73].

Напомним, что подгруппа  называется субнормальной подгруппой группы , если существует цепь подгрупп

 

 

такая, что для любого  подгруппа  нормальна в .

Естественным обобщением понятия субнормальности является понятие -субнормальности, которое для произвольных конечных групп впервые введено Л.А. Шеметковым в монографии [44].

Пусть  --- непустая формация. Подгруппу  группы  называют -субнормальной, если либо , либо существует максимальная цепь

 

 

такая, что  для всех .

Несколько другое понятие -субнормальности введено Кегелем в работе [69]. Фактически оно объединяет понятие субнормальности и -субнормальности в смысле Шеметкова.

Подгруппу  называют -субнормальной в смысле Кегеля или -достижимой, если существует цепь подгрупп

 

 

такая, что для любого  либо подгруппа  нормальна в , либо .

Для любой непустой формации  множество всех -достижимых подгрупп произвольной группы  содержит множество всех субнормальных подгрупп группы  и множество всех -субнормальных подгрупп группы . Если же  --- непустая нильпотентная формация, то множество всех -достижимых подгрупп в точности совпадает с множеством всех субнормальных подгрупп для любой группы .

В Коуровской тетради [10] Л.А. Шеметковым была поставлена проблема классификации сверхрадикальных формаций.

Напомним, что формация  называется сверхрадикальной, если она удовлетворяет следующим требованиям:

1)  --- нормально наследственная формация;

2) любая группа , где  и  --- -субнормальные -подгруппы из , принадлежит .

В.Н. Семенчуком в работе [28] в классе конечных разрешимых групп было получено полное решение данной проблемы.

В данной главе получено полное решение проблемы Шеметкова для наследственных насыщенных формаций, критические группы которых разрешимы

В данном разделе приводятся некоторые свойства критических групп (минимальных не -групп) и обобщенно субнормальных ( -субнормальных и -достижимых) подгрупп, которые будут использоваться при доказательстве основных результатов диссертации.

Напомним, что критической группой формации  ( минимальной не -группой) называется группа, не принадлежащая , все собственные подгруппы которой принадлежат . Множество всех таких групп обозначают . Через  обозначают множество всех разрешимых групп, а через  --- множество всех групп, у которых -корадикал  разрешим.

1.1 Лемма. Пусть  --- насыщенная формация,  --- наследственная насыщенная формация. Если  и , где , то .

Доказательство. Пусть . По теореме 2.2.1,  --- -группа. Очевидно, что . По лемме 2.2.2, , где  --- -группа,  --- -группа и . Так как  и , то . Следовательно,  --- -группа. Пусть  --- -главный фактор . Если  --- -группа, то -централен.

Пусть  --- -группа. По теореме 2.2.3, . Пусть  и  --- произвольная -абнормальная максимальная подгруппа группы . Тогда . Так как , то, по теореме 2.2.4, . Следовательно, . Поскольку

 

 

то . Учитывая, что , по теореме 2.2.5, имеем

 

 

где  --- максимальные внутренние локальные экраны, соответственно  и . Если , то . Отсюда и из того, что

 

 

следует . А это значит, что -централен.

Пусть . Так как  --- насыщенная формация и , то . Следовательно,  --- -нормализатор группы . В силу того, что  покрывает , то -централен. Следовательно, . По теореме 2.2.4, . Лемма доказана.

1.2 Лемма. Пусть  --- непустая наследственная формация. Если  --- -субнормальная подгруппа, то  --- субнормальная подгруппа.

Доказательство. Пусть  --- -субнормальная подгруппа группы . Если , то лемма очевидна. Пусть . Тогда  содержится в максимальной -нормальной подгруппе  группы . По индукции,  --- субнормальная подгруппа из . Так как  и  --- наследственная формация, то . Следовательно, , значит, . Поскольку  --- нормальная подгруппа группы , то  --- субнормальная подгруппа . Лемма доказана.

1.3 Лемма. Пусть  --- наследственная насыщенная формация,  --- -субнормальная подгруппа группы  такая, что . Тогда .

Доказательство. Пусть . Очевидно,

 

 

Так как , то по индукции . Следовательно,

 

 

Отсюда, согласно лемме 2.2.6,

 

 

Пусть . Тогда  --- цоколь группы . По лемме 3.1.2,  --- субнормальная подгруппа группы . По теореме 2.2.7, . Следовательно,  --- нормальная подгруппа группы . Тогда

 

По теореме 2.2.8, . Отсюда следует, что . Так как  и  --- наследственная формация, то . Получаем , т. е. . Лемма доказана.

В следующих леммах приводятся основные свойства -субнормальных подгрупп.

1.4 Лемма. Пусть  --- непустая наследственная формация. Тогда справедливы следующие утверждения:

1) если  --- подгруппа группы  и , то  --- -субнормальная ( -достижимая) подгруппа группы ;

2) если  --- -субнормальная ( -достижимая) подгруппа группы , то  --- -субнормальная ( -достижимая) подгруппа  для любой подгруппы  группы ;

3) если  --- -субнормальная ( -достижимая) подгруппа  и  --- -субнормальная ( -достижимая) подгруппа группы , то  --- -субнормальная ( -достижимая) подгруппа группы ;

4) если  и  --- -субнормальные ( -достижимые) подгруппы группы , то  --- -субнормальная ( -достижимая) подгруппа группы ;

5) если все композиционные факторы группы  принадлежат формации , то каждая субнормальная подгруппа группы -субнормальна в ;

6) если  --- -субнормальная ( -достижимая) подгруппа группы , то -субнормальна ( -достижима) в  для любых .

Доказательство. 1) Пусть  --- подгруппа группы  и . Так как  и  --- наследственная формация, то подгруппа  является -субнормальной подгруппой группы . Отсюда, согласно определению -субнормальной подгруппы, существует максимальная цепь

 

такая, что  для всех . Отсюда, с учетом леммы 2.2.6 получаем, что в группе  существует максимальная цепь

 

 

такая, что  для всех .

А это значит, что  --- -субнормальная подгруппа группы .

Пусть  --- подгруппа группы , содержащая , тогда  --- -субнормальная подгруппа группы . А так как любая -субнормальная подгруппа группы  является -достижимой в , то  --- -достижимая подгруппа группы .

2) Пусть  --- -субнормальная подгруппа группы . Тогда, по определению, существует максимальная цепь подгрупп

 

 

такая, что для любого .

Пусть  --- некоторая подгруппа из . Рассмотрим цепь подгрупп

 

 

Так как  и формация  наследственна, то из  следует, что

 

 

Теперь, ввиду изоморфизма,

 

имеем . Значит, . Так как , то . Итак, . Отсюда, по определению,  --- -субнормальная подгруппа группы .

Пусть  --- -достижимая подгруппа группы . Тогда, по определению, существует цепь подгрупп

 

 

такая, что для любого  либо подгруппа  нормальна в , либо .

Пусть  --- некоторая подгруппа из . Рассмотрим цепь подгрупп:

 

 

Если подгруппа  нормальна в , то подгруппа  нормальна в . Пусть . Так как формация  наследственна, то из  следует, что

 

 

Теперь, ввиду изоморфизма,

 

 

имеем . Значит, . Так как , то . Итак, для каждого  либо подгруппа  нормальна в , либо . Отсюда, по определению,  --- -достижимая подгруппа группы .

Утверждение 3) следует непосредственно из определения -субнормальной ( -достижимой) подгруппы.

Утверждение 4) следует теперь из утверждений 2) и 3).

5) Пусть все композиционные факторы группы  принадлежат формации , и пусть  --- субнормальная подгруппа группы . Тогда в группе  существует цепь подгрупп

 

 

такая, что для любого  подгруппа  нормальна в .

Согласно условию, , отсюда следует, что . А это значит, что подгруппа -субнормальна в группе .

Утверждение 6) следует непосредственно из определения -субнормальной ( -достижимой) подгруппы. Лемма доказана.

1.5 Лемма. Пусть  --- непустая формация,  и  --- подгруппы группы , причем  нормальна в . Тогда:

1) если -субнормальна ( -достижима) в , то -субнормальна ( -достижима) в  и -субнормальна ( -достижима) в ;

2) если , то -субнормальна ( -достижима) в  тогда и только тогда, когда -субнормальна ( -достижима) в .

Доказательство. Пусть  --- -субнормальная подгруппа группы . Тогда, по определению, существует максимальная цепь подгрупп

 

 

такая, что для любого .

Рассмотрим следующую цепь подгрупп

 

 

Так как , то ввиду леммы 2.2.6, . Отсюда следует, что

 

 

Итак, для каждого . Отсюда, по определению,  --- -субнормальная подгруппа группы .

Ввиду леммы 2.2.6,

 

 

Поэтому для любого . Значит,  --- -субнормальная подгруппа группы .

Пусть  --- -достижимая подгруппа группы . Тогда, по опрeделению, существует цепь подгрупп

 

 

такая, что для любого  либо  нормальна в , либо . Рассмотрим следующую цепь подгрупп

 

 

Если подгруппа  нормальна в , то подгруппа  нормальна в . Пусть . Тогда ввиду леммы 2.2.6, . Отсюда следует, что . Итак, для каждого  либо подгруппа  нормальна в , либо . Отсюда, по определению,  --- -достижимая подгруппа группы .

Ввиду леммы 2.2.6, . Поэтому для любого  либо подгруппа  нормальна в , либо . Значит,  --- -достижимая подгруппа группы .

Утверждение 2) следует из 1) и леммы 2.2.6. Лемма доказана.