Приложения в теории рядов Фурье

    Во введении мы уже определили понятие ряда Фурье функции f (x) по любой ортонормальной системе . В частности, если речь идет о тригонометрической системе

                  ,                   (1)

то рядом Фурье функции f (x) служит ряд

                                 ,                            (2)

где

              , .                        (3)

    Во введении предполагали, что . Это предположение обеспечило существование коэффициентов Фурье  функции f (x) в любой ортонормальной системе. Но функции системы (1) ограничены. Поэтому коэффициенты (3), а с ними и ряд (2), можно образовать для любой суммируемой функции.

    Вопрос о сходимости ряда (2) приводится к исследованию некоторого сингулярного интеграла. Если , то, в силу (3), .

Выведем формулу для упрощения выражения в скобках. Для этого сложим равенства

        (k=0, 1, …, n-1),

                       .

Это дает , откуда следует равенство

                      ,                               (4)

Пользуясь этой формулой, придадим сумме  вид

                       .                          (5)

    Этот интеграл есть сингулярный интеграл Дирихле.

    Рассмотрим вопрос о суммировании ряда (2) по способу Чезаро. Этот способ состоит в отыскании предела среднего арифметического первых n сумм :

                       .                          (6)

    В случае сходимости ряда (2) в точке x последовательность  сходится к сумме ряда, но эта последовательность может сходиться и тогда, когда ряд (2) расходится.

    Для исследования  преобразуем ее с помощью формулы (5)

              .

Но .                                            (7)

    Действительно, складывая равенства

    (k=0, 1, …, n-1),

находим , откуда и следует (7).

    С помощью (7) получаем .      (8)

    Интеграл (8) есть сингулярный интеграл Фейера. Покажем, что для него выполнены условия теоремы Фаддеева.

Для этого рассмотрим функцию f (t)=1. Вычисляя ее коэффициенты Фурье по формулам (3), получим  (k=1, 2, …).

Значит, для этой функции  (n=0, 1, 2, …), а следовательно и .

    Но выражая  интегралом Фейера, получим, что

                                 .                                 (9)

    Заметив это, рассмотрим точку . Пусть . Если , то , и, следовательно, , где A ( x , α ) не зависит от n.

Отсюда следует, что .

    Аналогично убедимся, что интеграл стремится к нулю по промежутку  [β, π]. Сопоставляя это с (9), находим, что

                       ,

так что функция  есть ядро.

    Для этого ядра можно построить горбатую мажоранту. Заметим, что . Отсюда . Но .

Следовательно  и

.                                      (10)

С другой стороны, когда , то , так что

                                 .                                      (11)

    Так как , , то  может оказаться и больше, чем . Но это несущественно. Если положим , , то разность между интегралом Фейера (8) и интегралом

при возрастании n стремится к нулю (т. к., например, при  будет ), поэтому все рассуждения можно вести для интеграла .

Из (10) и (11) следует, что

.

Функция  есть горбатая мажоранта ядра Фейера.

Но , т. е. интегралы от мажоранты ограничены числом, не зависящим от n.

    Итак, интеграл Фейера удовлетворяет условиям теоремы

Д. К. Фаддеева. Отсюда следует

    Теорема 1 (Л. Фейер – А. Лебег). Почти везде на [- π , + π ] будет

                                 .                                          (12)

    Это соотношение выполняется во всех точках Лебега и тем более во всех точках непрерывности функции f (t), лежащих внутри [- π , + π ].

    Тригонометрическая система полна. Это означает, что всякая функция , у которой все коэффициенты Фурье (3) равны нулю, эквивалентна нулю. Избавимся от ограничения, что f (x) суммируема с квадратом. Справедлива следующая

    Теорема 2. Если все коэффициенты Фурье (3) суммируемой функции

f (x) равны нулю, то f (x) эквивалентна нулю.

    В самом деле, в этом случае  и, следовательно, f (x)=0 во всех точках, где имеет место (12), т. е. почти везде.

    Теорема 1 позволяет делать некоторые высказывания и о поведении сумм . Для этого заметим, что

              ,

так что .                                 

Отсюда .