Представление функции сингулярным интегралом в заданной точке

    Во всем дальнейшем будем считать, что ядро  при фиксированных n и x ограничено. Тогда сингулярный интеграл  имеет смысл при любой суммируемой функции f (t).

    Теорема 1 (А. Лебег). Если при фиксированном x ( a < x < b ) и любом δ>0 ядро  слабо сходится к нулю в каждом из промежутков [ a , x - δ ],

[ x + δ , b ] и , где H(x) не зависит от n , то, какова бы ни была суммируемая функция f (t), непрерывная в точке x , справедливо равенство

                                 .

Доказательство. Так как  есть ядро, то ,                 

и достаточно обнаружить, что

                       .

    С этой целью, взяв ε>0, найдем такое δ>0, что при  будет

                                 .

Это возможно в силу непрерывности функции f в точке x.

Тогда при любом n .

Но каждый из интегралов ,  при  стремится к нулю, т. к.  слабо сходится к нулю в каждом из промежутков [ a , x - δ ], [ x + δ , b ]. Поэтому для  каждый из них будет по абсолютной величине меньше ε/3.

И для этих n окажется , что и требовалось доказать.

    Эта теорема относится к представлению суммируемой функции в точках непрерывности, но суммируемая функция, вообще говоря, не имеет ни одной точки непрерывности, что понижает интерес этой теоремы.

    Больший интерес представляет вопрос о представлении суммируемой функции в тех точках, где эта функция служит производной своего неопределенного интеграла, или в точках Лебега, так как и те и другие точки заполняют почти весь сегмент задания функции. Перейдем к рассмотрению этого вопроса.

    Лемма (И. П. Натансон). Пусть на сегменте [ a , b ] дана суммируемая функция f (t), обладающая тем свойством, что

            .                                 (1)

    Какова бы ни была неотрицательная убывающая функция g(t), заданная и суммируемая на [ a , b ],  интеграл

                                                                                    (2)

существует (может быть как несобственный при t = a ) и справедливо неравенство

                                 .                                          (3)

    В пояснение условий леммы заметим, что не исключается случай, когда . Если же , то функция g(t) ограничена, и интеграл (2) существует как обычный интеграл Лебега.

    Переходя к доказательству леммы, заметим, что не ограничивая общности, можно принять, что g(b)=0. Действительно, если бы это не было так, то можно было ввести вместо g(t) функцию g *(t), определив ее равенствами

                                              g(t), если ,

                                 g *(t)=

                                          0, если t=b.

    Доказав теорему для g *(t), мы затем смогли бы всюду заменить g *(t) на g(t), т. к. такая замена не отражается на величине интересующих нас интегралов. Итак, считаем, что g(b)=0.

    Пусть a < α < b. На сегменте [ α, b ] функция g(t) ограничена, и интеграл

                                                                                    (4)

заведомо существует. Если положить , то интеграл (4) можно записать в форме интеграла Стилтьеса

                                 ,

откуда, после интегрирования по частям, находим

              .

    Но, в силу (1), мы имеем, что для любого h из интервала [0, t-a ] выполняется неравенство  и следовательно

,                               (5)

а так как g(t) убывает, то

                       .                                      (6)

Значит . С другой стороны, функция – g ( t ) возрастает. Отсюда и из (5) следует, что

                       .

Преобразуем стоящий справа интеграл по формуле интегрирования по частям:

              .

Отсюда, учитывая (6), следует, что

                       .

    Сопоставляя все сказанное, получаем:

                       .                                (7)

    Хотя это неравенство установлено при предположении, что g(b)=0, но оно останется верным и без этого предположения. Значит, можно заменить здесь предел b на β, где α< β < b. Но тогда, устремляя α и β к a, получим                                 ,

чем доказывается существование интеграла (2). Если в (7) перейти к пределу при , то получим (3). Лемма доказана. (В оценке (3) множителя M уменьшить нельзя, так как при f (t)=1 в (3) достигается равенство.)

    Теорема 2 (П. И. Романовский). Пусть ядро  положительно и обладает следующим свойством: при фиксированных n и x ядро , как функция одного лишь t , возрастает в сегменте [ a , x ] и убывает в сегменте

[ x , b ].

    Тогда для любой суммируемой функции f (t), которая в точке x является производной своего неопределенного интеграла, будет                                             .

    Доказательство. Так как  есть ядро, то  и достаточно проверить, что .

    Разбивая последний интеграл на два, распространенные на сегменте

[ a , x ] и [ x , b ], рассмотрим второй из них, так как первый изучается аналогично.

    Возьмем ε>0 и найдем такое δ>0, что при  будет

                       ,

что возможно, так как f (t) в точке t = x есть производная своего неопределенного интеграла. То есть  и .

    Тогда по предыдущей лемме

    .

    Так как  есть ядро, то .

    Величина, имеющая конечный предел, ограничена. Значит, существует постоянная K(x) такая, что .

    Таким образом,

                       .

    С другой стороны, если , то

              .

    Значит функции  на сегменте [ x + δ , b ] равномерно ограничены и выполнено условие (5) теоремы Лебега из §1. Но второе ее условие, т. е. условие (6), также выполнено для этих функций, т. к.  является ядром. Следовательно  на сегменте [ x + δ , b ] слабо сходится к нулю, и для достаточно больших n будет .

    При этих n окажется

                       ,

так что

                       .

Теорема доказана.

    В качестве примера ее приложения рассмотрим интеграл Вейерштрасса .

    Функция  есть ядро, т. к. при α<x<β

              .

    Эта функция положительна, и она возрастает при  и убывает при . Значит, для всякой  будет  в каждой точке x, где f (t) есть производная своего неопределенного интеграла.

    Определение. Функция Ψ( t , x ) называется горбатой мажорантой функции , если  и если Ψ( t , x ) при фиксированном x возрастает на сегменте [ a , x ] и убывает на сегменте [ x , b ].

    Теорема 3 (Д. К. Фаддеев). Если ядро  при каждом n имеет такую горбатую мажоранту , что

                       ,

где K(x) зависит лишь от x , то для любой , имеющей точку t = x точкой Лебега, будет справедливо равенство

                                 .

Доказательство. Достаточно доказать, что

.

Возьмем ε>0 и найдем такое δ>0, что при  будет

                       .

    По лемме имеем

.

    С другой стороны, в сегменте [ x + δ , b ] последовательность  слабо сходится к нулю, т. к. при  будет

    .

Следовательно для достаточно больших n будет

.

    При этих n окажется ,

так что .    Теорема доказана.