Колебания вала с тремя дисками

 

Рассмотрим колебания вала с тремя дисками (рис. 3). Здесь I₁ , I₂ ,I₃ моменты инерции дисков, k₁ и k₂ жесткости участков вала на кручении, по аналогии с формулой (1.1) равные:

 

 и

Рис. 3 Вал с тремя дисками

 

Если амплитуды колебаний дисков обозначить  то уравнения (2.14) для данного случая примут вид:

 

. (2.15)

 

Складывая эти уравнения получим

 

 

откуда

 

,

 

или

 

.

 

Квадрат частоты колебаний р² нулю равен быть не может, поэтому:

. (2.16)

 

Выразим М₁ и М₃ через М₂ , что может быть сделано из уравнения (2.15)

 

 

Подставим полученные значения М₁ и М₃ в уравнение (2.16)

 

 

Сокращая на М₂ и приводя к общему знаменателю получим:

 

или

 

Делаем группировку

 

 

Освобождаясь от коэффициента при р⁴ и делая преобразование в круглых скобках получим окончательно:

 

 (2.17)

Получили биквадратное уравнение для определения частоты. Корни этого уравнения  и  соответствуют двум главным видам колебаний: низшему, имеющему один узел колебаний (два соседних диска вращаются в одну сторону), и высшему, имеющему два узла колебания (крайние диски вращаются в одну сторону).

 

Колебания вала с четырьмя дисками

 

Рассмотрим крутильные колебания вала с четырьмя дисками. Пусть I₁ , I₂ ,I₃,,I₄ — моменты инерции дисков, k₁ ,k₂,,k₃ — жесткости участков вала на основе формулы (1.1) равные:

 

; ;

 

Амплитуды колебаний дисков обозначим по-прежнему: М₁,М₂,,М₃,,М₄.

Тогда уравнения (2.14) для данного случая примут вид:

 (2.18)

 

Складывая полученные уравнения найдем:

 

 

Учитывая подобные слагаемые, получим

 

или

 

 

Квадрат частоты - р² нулю не равен, следовательно:

 

 (2.19)

 

Выразим М₁,М₃ и М₄ через М₂, что может быть сделано с помощью уравнений (2.18).

С помощью первого уравнения из (2.18) найдем:

 

 (2.а)

 

Из второго уравнения нижеследующими действиями найдем:

 

,

 

или подставляя вместо М₁ его значение из (2.а)

 

,

,

,

. (2.d)

 

Из уравнения четвертого найдем

 

 

Подставив значение М₃ из (2.d)

 

 (2.е)

 

Найденные значения М₁, М₃ и М₄ подставим в уравнение (2.19)

 

 

Сокращаем полученное уравнение на М₂ и приводим левую часть уравнения к общему знаменателю, который и отбрасываем. Общим знаменателем, очевидно, будет выражение:

 

 

Делаем группировку

 

 

Освобождаясь от коэффициента при р⁶, приведем наше уравнение к виду:

 

 (2.20)

 

Таким образом, были рассмотрены формулы для нахождения собственных частот колебания вала с различным количеством дисков. Определив частоты, можно рассчитать критические скорости прямых валов, а, зная эти скорости можно предупредить поступление разного рода нарушения нормального хода машины, которые обычно выражаются в появлении биений вала или вибрации всей установки в целом.