Постановка прямой спектральной задачи Колебания вала с одним диском

Определение собственных частот крутильных колебаний вала с дисками

 

Постановка прямой спектральной задачи Колебания вала с одним диском

 

Прямая задача: Определить собственные частоты крутильных колебаний вала, состоящего из п (п =1, 2, 3, 4,…) дисков с известными моментами инерции масс, укрепленных на стальном валу с известными жесткостями.

Рассмотрение крутильных колебаний начнем с простейшего случая круглого вала постоянного сечения, несущего на свободном конце диск, верхний конец вала заделан (рис. 1).

Пусть в силу каких-либо причин диск (маховик), изображенный на чертеже, получил в плоскости вращения, которой является плоскость, перпендикулярная чертежу, перемещения на угол . На тот же угол повернется и жестко связанный с диском вал. Представленная самой себе такая система будет совершать колебания, поддерживаемые силами упругости вала, заключающиеся в повторных вращательных движениях.

 

Рис. 1 Вал с одним диском

 

Известно, что колебания, представляющие ряд повторных вращательных перемещений от положения равновесия, называются колебаниями кручения или, крутильными.

Установим величину нагрузки, вызывающей единицу статической деформации вала. Статической деформацией вала в данном случае будет угол закручивания, определяемый по известной формуле сопротивления материалов

 

 (1.0)

 

где М — крутящий момент;

—длина вала;

I_p —полярный момент инерции вала;

 

 

— модуль касательной упругости.

Нагрузкой, вызывающей единицу статической деформации, т. е. угол закручивания, равный одному радиану, будет из формулы (1.0) некоторый момент; будем обозначать этот момент буквой k и называть жесткостью вала на кручение.

 

 (1.1)

 

Если вал повернется на угол , то в нем возникнет момент внутренних сил упругости, равный

 

 (1.1а)

 

Этот момент по принципу Даламбера должен быть равен моменту сил инерции диска. (Массой вала мы пренебрегаем.) Если угловое ускорение обозначить

 

 

и момент инерции диска относительно продольной вертикальной оси вала

 

,

 

где Q —вес диска, D—его диаметр, g— ускорение силы тяжести.

В случае кольцевого диска (шкив, колесо)

 

 

то момент сил инерции диска будет равен

 

 (1.1b)

 

Уравнение движения тогда будет иметь вид:

 

 

Освобождаясь от коэффициента при дифференциале

и обозначая

 

 (1.2)

 

получим

 

 (1.3)

 

Решение этого уравнения может быть представлено в виде:

 

 (1.4)

 

по аналогии получаем:

 

 (1.5)

 

Очевидно, что мы в данном случае получили простое гармоническое колебание.

Круговая частота этого колебания (равная угловой скорости) будет

 

 (1.2а)

 

и период колебания

 (1.6)

 

Формулы (1.2а) и (1.6) справедливы в окончательном виде только для сплошного диска постоянной толщины, в случае какого-либо другого диска частоту и период следует определять по формулам:

 

 (1.2 )

 

и

 

. (1. )

 

Вычисляем в них соответствующий момент инерции диска по формулам теоретической механики.

Рассмотрим теперь случай колебаний вала с диском (рис. 1), с учетом массы вала. Помимо полярного момента инерции сечения вала, воспользуемся выражением для экваториального момента инерции (массы) вала, известным из теоретической механики.

 

 

где I₀ — экваториальный момент инерции,

W — собственный вес вала,

r —радиус вала.

Если вес единицы объема вала, т. е. его удельный вес, обозначить , то I₀ для круглого вала можно представить в виде:

 

 (2.b)

и экваториальный момент единицы длины вала

 

 (2.c)

 

Для решения стоящей перед нами задачи удобнее всего воспользоваться уравнениями движения Лагранжа, поэтому, прежде всего, найдем кинетическую и потенциальную энергию нашей системы.

Кинетическая энергия системы будет слагаться из кинетической энергии диска и кинетической энергии вала. Кинетическая энергия диска

 

 

Для нахождения кинетической Энергии вала сначала найдем кинетическую энергию элемента его dc. Если угол закручивания в сечении с обозначить , то кинетическая энергия элемента dc будет

 

 

так как если  — момент инерции единицы длины, то I₀'dc момент инерции элемента dc.

Найдем зависимость между углом закручивания в сечении с- и в сечении

 

 и

откуда

 

 

или

 

 

и

 

 

Подставляя полученное значение  в выражение кинетической энергии элемента dc, получим:

 

 

Полную кинетическую энергию вала найдем интегрированием:

 

Или заменяя на основе формул (b) и (с) на  получим окончательно:

 

Полная кинетическая энергия системы

 

 

Потенциальная энергия системы

 

 

где M — крутящий момент, приложенный к валу. Для крутящего момента имеем выражение:

 

 (1.1а)

 

Подставляя это значение в выражение для потенциальной энергии, получим:

 

 (2.1)

 

Теперь можем составить дифференциальное уравнение колебательного движения нашего вала, что удобнее всего сделать в форме Лагранжа. В нашем случае за обобщенную координату необходимо принять угол закручивания , тогда уравнение Лагранжа примет вид:

 

в этом уравнении

Находим значения частных производных, входящих в это уравнение:

 

 

Подставим полученные значения в уравнение Лагранжа

 

 

Освобождаясь от коэффициента при дифференциале и полагая

 

 

получим

 

 

т. е. известное нам уравнение (1.3), решение которого

.

 

Частота этого колебательного движения

 

 

И период

 

 (2.2)

 

Следовательно, для учета собственной массы вала, имеющего колебания, необходимо к моменту инерции диска, сидящего на валу, прибавить одну треть момента инерции вала.

Рассмотрим случай вала, лежащего в двух подшипниках (влияние которых на колебания мы, в виду незначительности, не учитываем), несущего на концах два диска (маховика, шкива и т. д.) (рисунок 2).

 

Рис. 2 Вал с двумя дисками

 

Вал будет испытывать крутильные колебания только при условии вращения дисков в разные стороны, что может быть достигнуто приложением к дискам двух равных и прямо противоположных моментов. После удаления моментов в системе, состоящей из вала и двух; дисков, возникнут крутильные колебания. В каждый момент времени угловые скорости дисков будут направлены противоположно друг другу. Левый диск и некоторая часть вала, примыкающая к нему, будет вращаться, допустим, по часовой стрелке, а правый диск и его часть вала против часовой стрелки. В таком случае на валу обязательно должно быть сечение, в котором нет никакого вращения. Вал можно рассматривать как жестко заделанный в сечении, пт, причем, в нашем примере, левая часть вращается по часовой и правая против часовой стрелки.

Сечение, остающееся во время колебания системы неподвижным, называется узлом колебания.

Периоды колебаний одинаковые для обеих частей одного и того же вала могут быть найдены из формулы (1.6),

 

 (2.3)

 

Задача, таким образом, сводится к определению расположения узла колебаний по длине вала, т. е. длин l₁ и l₂. Уравнение (2.3) показывает, что узел колебания делит вал обратно пропорционально моментам инерции дисков, т. е.

 

 или

 

Второе уравнение для определения положения узла колебаний будет

 

 

Из уравнений получим

 и  

 

и период колебания примет вид

 

 (2.4)

 

частота колебаний будет:

 

 (2.5)

 

Для изучения случаев колебания валов с большим числом дисков, чем два, удобнее в отличие от вышеприведенных случаев вала с одной и двумя массами найти уравнения движения вала с произвольным количеством масс и затем применять его для любого частного случая.