Функции Ляпунова и продолжимость решений дифференциальных уравнений

 

Рассмотрим систему вида

 

                                  

 

где  определена и непрерывна на , где --- некоторый промежуток прямой, а  --- область -мерного пространства .

Определение. Будем говорить, что вектор-функция  удовлетворяет на множестве   локальному условию Липшица по , если для каждой точки  найдется такая окрестность  и постоянная Липшица , что для любой из двух точек  и  из этой окрестности выполняется неравенство

 

.

 

Введем обозначения.

Рассмотрим отношение

.

 

Рассмотрим верхний (нижний) предел последнего отношения

 

 

Этот предел будем называть производной функции в силу системы .

Теорема

Пусть функция  определена, непрерывна и локально липшицева относительно  на произведении .

Тогда для продолжимости всех решений системы на промежутке  необходимо и достаточно, чтобы на множестве  существовали две функции Ляпунова  и , обладающие свойствами:

 

1) ;

2) при  равномерно относительно  на каждом конечном сегменте, .

 

Замечание. Вместо условия 1) в теореме может быть взято условие .

Следствие. Если  и  непрерывны во всем пространстве, то для продолжимости каждого решения системы на  необходимо и достаточно, чтобы в пространстве  существовали две непрерывно дифференцируемые функции Ляпунова  и , обладающие свойствами:

1) ;

2)  при  равномерно относительно  на каждом конечном сегменте, .

 

Продолжимость всех решений некоторых уравнений третьего порядка

 

Поскольку одна из целей данной дипломной работы --- показать на примере применение функций Ляпунова к исследованию продолжимости решений дифференциальных систем, мы ставим перед собой задачу применить функции Ляпунова для решения вопроса продолжимости на  всех решений некоторых нелинейных уравнений третьего порядка.

Рассмотрим уравнение

 

   

 

эквивалентное системе

 

               

Теорема

Пусть функции ,  и  удовлетворяют следующим условиям:

а)  непрерывна при ,

б) функция  ограничена для достаточно больших , то есть  для больших ;

в) функция непрерывна и имеет непрерывную производную по  и, кроме того, удовлетворяет условиям:

1)  для достаточно больших  и ,

2)  для достаточно больших  и ;

тогда все решения системы неограниченно продолжаемы.

Доказательство

Рассмотрим функцию

 

 

Ее производную в силу системы для достаточно больших ,  и  легко оценить:

 

 

Получили дифференциальное неравенство вида

 

,

 

где , а . По лемме это неравенство не имеет ни одного положительного решения с конечным временем определения. В качестве множества , о котором говорится в теореме, можно взять любое ограниченное множество, содержащее начало координат и такое, что вне его выполняются условия, наложенные на функции  и .

Применяя теорему , приходим к требуемому выводу.

Замечание. Если вместо требований, наложенных на функцию , потребовать  при достаточно больших , , то, взяв , получим

 

 

А отсюда легко следует утверждение теоремы.

Замечание. Можно показать, что если в правой части уравнения вместо функции  поставить функцию  которая либо ограничена для всех , либо для  существует непрерывная функция  такая, что при всех  выполняется неравенство , то все решения уравнения  при тех же предположениях относительно функций  и  неограниченно продолжаемы.

Замечание. Заключение о неограниченной продолжимости решений дифференциального уравнения легко получить из теоремы , положив .

Как отмечено выше, существует ряд признаков продолжимости решений. Простейшим из них является признак Винтнера-Еругина, который утверждает, что если в уравнении  функция  определена и непрерывна для всех  и , как функция двух переменных, то любое решение этого уравнения неограниченно продолжаемо в обе стороны, если только выполняется неравенство , где  --- функция, удовлетворяющая условию , где  --- число. В простейшем случае , где  --- число, т.е. получаем, что функция  близка к линейной. Ясно, что в этом случае продолжимость всех решений на  легко установить при помощи функций Ляпунова с использованием дифференциальных неравенств, взяв . Обратное утверждение не всегда верно. Например, для уравнения

 

 

условия продолжимости, полученные при помощи функций Ляпунова, запишутся так:  для больших  и  для больших . Понятно, что, положив  и  получим, на основании теоремы , вывод о продолжимости всех решений уравнений . Но критерий Винтнера-Еругина не выполняется за счет .

Рассмотрим уравнение

 

 

эквивалентное системе

 

  

 

Теорема

Пусть  --- непрерывная на всех  функция, а функции ,  и  удовлетворяют условиям:

а)  --- ограниченная для всех , где  --- некоторое ограниченное множество, содержащее начало координат,

б)  при ,

в)  --- непрерывная и непрерывно дифференцируемая по  функция и ,  для всех . Тогда все решения системы или уравнения неограниченно продолжаемы.

Доказательство

В самом деле, возьмем функцию

 

 

Оценивая ее производную в силу системы при  (для , вообще говоря больших), перейдем к неравенству

 

 

которое, очевидно, в силу леммы , не имеет ни одного положительного решения с конечным временем определения. Воспользовавшись теоремой , приходим к требуемому заключению.

Замечание. Воспользовавшись этой теоремой, легко получить вывод о продолжимости всех решений уравнения

 

     

 

и уравнения

 

       

В самом деле, при выполнении всех условий теоремы , полагая  в первом случае и  --- во втором, легко получаем

Следствие. Если в уравнении функции ,  непрерывны по  и  соответственно и  для больших , а функция  для больших  то все решения этого уравнения продолжимы на .

Следствие. Если в уравнении () функции ,  и  удовлетворяют условиям:

а)  непрерывна для ,

б)  ограничена для больших ,

в)  для больших ,

г)  непрерывна и  для больших , то все решения уравнения неограниченно продолжимы вправо. 

Пример. Очевидно, что всем условиям продолжимости удовлетворяет уравнение

 

 

или система

 

 

Однако критерий Винтнера-Еругина не гарантирует продолжимости всех решений. В самом деле . Обозначим . Получаем, что

 

Отсюда можно сделать вывод, что для установления продолжимости на  более эффективно использование функций Ляпунова, нежели признака Винтнера-Еругина.

Рассмотрим уравнение

 

 

 

эквивалентное системе

 

                                                            

Теорема

Для продолжимости всех решений уравнения на  достаточно выполнения условий:

1) непрерывности при всех  функции ,

2) непрерывности функций  и  и непрерывной дифференцируемости по  функции , а, кроме того, выполнения для них условий

 

вне некоторого ограниченного множества , содержащего начало координат.

Действительно, взяв функцию

 

 

вне множества  и для достаточно больших , будем иметь

 

 

Это неравенство, в силу леммы , не имеет ни одного положительного решения с конечным временем определения, и на основании теоремы получаем справедливость нашего утверждения.

Заключение

 

В основном данная работа посвящена построению функций Ляпунова для выявления свойства продолжимости всех решений некоторых нелинейных уравнений третьего порядка на полупрямую .

В работе рассмотрены следующие нелинейные уравнения третьего порядка:

 

 

Для рассмотренных уравнений с помощью функций Ляпунова получены достаточные условия продолжимости всех решений на полупрямую .

Приведенные примеры построения функций Ляпунова для выявления свойства продолжимости нелинейных уравнений третьего порядка говорят о возможности применения указанных функций не только для выяснения вопросов устойчивости, но и для выявления других свойств решений дифференциальных систем.