Развитие метода функций Ляпунова

Метод функций Ляпунова дал довольно сильный и гибкий аппарат исследования устойчивости решений дифференциальных уравнений. Модификации этого используют сейчас и для выявления других свойств решений дифференциальных уравнений. Например, японский математик Окамура использовал идеи, сходные с идеями второго метода Ляпунова, для изучения продолжимости решений, а затем Йошизава применил этот метод для получения сведений об ограниченности решений.

Как известно, Теоремы Ляпунова дают возможность судить об устойчивости по знаку производной , где  --- положительно определенная функция. Таким образом изучается неравенство . После работ русского ученого С.А. Чаплыгина началось широкое применение дифференциальных неравенств в теории дифференциальных уравнений. Развитие теории привело к сочетанию метода функций Ляпунова с методом дифференциальных неравенств: начали рассматривать функции Ляпунова в дифференциальных неравенствах вида

что позволяет получить, в частности, интересные выводы относительно продолжимости и ограниченности решений. Остановимся кратко на этом вопросе .

Если рассмотреть систему

то ее решение  может быть ограниченным, иметь конечное время определения или существовать для всех .

В неравенстве нас будут интересовать только его положительные решения. Сами неравенства могут быть двух типов:

а) неравенства, не имеющие ни одного положительного решения с конечным временем определения;

б) неравенства, не имеющие ни одного положительного неограниченного решения. Заметим, что в дальнейшем, если под  понимается некоторое множество, то через  обозначается дополнение этого множества в пространстве.

Приведем без доказательства несколько утверждений .

Теорема

Предположим, что  --- ограниченное множество пространство , содержащее начало координат, и что функция  определена во всем множестве  и при всех . Допустим далее, что  при  равномерно на каждом интервале изменения времени . Наконец, предположим, что , во всем  и для . Если неравенство не имеет ни одного положительного решения с конечным временем определения, то каждое решение  системы неограниченно продолжаемо.

Для применения результатов такого рода часто полагают , то есть неравенство записывается в виде

Лемма

Если , то неравенство , при непрерывности  для всех  и положительности и непрерывности  для , не имеет ни одного положительного решения с конечным временем определения.

Лемма

Если , , то неравенство не имеет ни одного положительного неограниченного при  решения.

Теорема

Пусть  и  имеют тот же смысл, что и в теореме ,  при  равномерно по  и . Если неравенство  не имеет ни одного положительного неограниченного при всех  решения, то система устойчива в смысле Лагранжа.

Замечание. Для автономной системы вместо  используется функция .