Сравнение интегралов Римана и Лебега

2019-07-03

308

Обсуждений (0)

0.00 из 5.00 0 оценок

⇐ Предыдущая 1 2 3 45

Пусть на сегменте [а, b] задана (не обязательно конечная) функция f(х). Пусть

x₀ Î [ a, b] и d > 0. Обозначим через m _d( x₀) и М _d(х₀) соответственно точную нижнюю и точную верхнюю границы функции f( x) наинтервале (х₀ - d, x₀ + d)

m _d( x₀) = inf{ f( x)}, M _d( x₀) = sup{ f( x)} (х₀ - d < x < x₀ + d).

(Само собою разумеется, что мы принимаем во внимание лишь те точки интервала

(х₀ - d, x₀ + d), которые лежат также и на сегменте [а, b].)

Очевидно,

m _d( x₀) £ f( x₀) £ M _d( x₀).

Если d уменьшается, то m _d( x₀) не убывает, a M _d( x₀) не возрастает. Поэтому существуют определенные пределы

m( x₀) = m _d( x₀), M _d( x₀) = M _d( x₀),

причем, очевидно,

m _d( x₀) £ m( x₀) £ f( x₀) £ M( x₀) £ M _d( x₀).

Определение. Функции т(х) и М(х) называются соответственно нижней и верхней функциями Бэра для функции f( x).

Теорема 1 (Р. Бэр). Пусть функция f(х) конечна в точке х₀. Для того чтобы f( x) была в этой точке непрерывна, необходимо и достаточно, чтобы было

m( x₀) = M( x₀). (*)

Доказательство. Допустим, что функция f(х) непрерывна в точке x₀. Взяв произвольное e > 0, найдем такое d > 0, что как только

< d,

так сейчас же

< e.

Иначе говоря, для всех х Î (х₀ - d, x₀ + d) будет

f(x₀) - e < f(x) < f(x₀) + e .

Но отсюда следует, что

f(x₀) - e £ m _d (x₀) £ M _d (x₀) £ f(x₀) + e ,

а стало быть, и тем более

f(x₀) - e £ m(x₀) £ M(x₀) £ f(x₀) + e ,

откуда, ввиду произвольности e, и вытекает (*). Итак, необходимость условия (*) доказана.

Пусть теперь, обратно, дано, что (*) выполнено. Тогда, очевидно,

m( x₀) = M( x₀) = f( x₀)

и общее значение функций Бэра в точке x₀ конечно.

Возьмем произвольное e > 0 и найдем столь малое d > 0, что

m( x₀) - e < m _d( x₀) £ m( x₀), M( x₀) £ M _d( x₀) < M( x₀) + e.

Эти неравенства означают, что

f(x₀) - e < m _d (x₀), M _d (x₀) < f(x₀) + e .

Если теперь x Î (х₀ - d, x₀ + d), то f( x) лежит между m _d( x₀) и M _d( x₀), так что

f(x₀) - e < f(x) < f(x₀) + e .

Иначе говоря, из того, что < d вытекает, что

< e,

т. е. функция f( x) непрерывна в точке х₀.

Основная лемма. Рассмотрим последовательность дроблений сегмента [а, b]

a = < < ¼ < = b

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

a = < < ¼ < = b

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

причем при i ® ¥

l i = max[ - ] ® 0.

Пусть есть точная нижняя граница значений функции f( x) на сегменте

[ , ]. Введем функцию j _i( x), полагая

j _i( x) = при x Î ( , )

j _i( x) = 0 при x = , , ¼ , .

Если х₀ не совпадает ни с одной точкой ( I = 1, 2, 3, ¼ ; k = 0, 1, 2, ¼ , n_i), то

j _i (x₀) = m(x₀).

Доказательство. Фиксируем какое-нибудь i и назовем через [ , ] тот из сегментов i-го способа дробления, который содержит точку х₀. Так как х₀ не совпадает ни с одной из точек деления, то

< x₀ <

и, следовательно, при достаточно малых d > 0 будет

(х₀ - d, x₀ + d) Ì [ , ],

откуда следует, что

£ m _d( x₀)

или, что то же самое, что

j _i (x₀) £ m _d (x₀).

Устремив d к нулю и перейдя к пределу, находим, что при любом i

j _i (x₀) £ m(x₀).

Этим самым лемма уже доказана для случая т(х₀) = - ¥. Пусть т(х₀) > - ¥ и пусть

h < m(x₀).

Тогда найдется такое d > 0, что m _d( x₀) > h.

Фиксировав это d, найдем столь большое i₀, что при i > i₀ будет

[ , ] Ì (х₀ - d, x₀ + d),

где, как и выше, [ , ] есть сегмент, содержащий точку х₀. Существование такого i₀ следует из условия l _i ® 0.

Для таких i будет

³ m _d (x₀) > h,

или, что то же самое,

j _i (x₀) > h.

Итак, для всякого h < m( x₀) найдется такое i₀, что при i > i₀

h < j _i (x₀) £ m(x₀),

а это и значит, что j _i( x₀) ® m( x₀). Лемма доказана.

Следствие 1. Функции Бэра т(х) и М(х) измеримы.

В самом деле, множество точек деления { } счетно и, стало быть, имеет меру нуль. Поэтому лемма означает, что j _i( x) ® m( x) почти везде.

Но j _i( x) измерима, ибо это ступенчатая функция, значит измерима я функция т( x). Для верхней функции Бэра М(х) рассуждение аналогично.

Следствие 2. Если в условиях леммы исходная функция f( x) ограничена, то

( L) ® ( L) .

Действительно, если £ K, то, очевидно,

£ K, £ K,

откуда прежде всего следует, что эти функции интегрируемы ( L), после чего остается сослаться на теорему Лебега о предельном переходе под знаком интеграла.

Перефразируем теперь следствие 2. Для этого заметим, что

( L) = = = s_i,

где s_i есть нижняя сумма Дарбу, отвечающая i-му способу дробления. Таким образом, следствие 2 означает, что при i ® ¥

s_i ® ( L) .

Аналогично можно установить, что верхняя сумма Дарбу S_i при возрастании i стремится к интегралу от верхней функции Бэра

S_i ® ( L) .

Но в таком случае

S_i- s_i ® (L) .

С другой стороны, в курсе Анализа устанавливается, что для того, чтобы ограниченная функция f( x) была интегрируема ( R), необходимо и достаточно, чтобы было S_i – s_i ® 0.

Сопоставляя это со сказанным выше, мы видим, что для интегрируемости ( R) функции f( x) необходимо и достаточно, чтобы было

( L) = 0. (1)

Условие (1) во всяком случае выполнено, если разность М(х) - т(х) эквивалентна нулю, но так как эта разность неотрицательна, то и обратно из (1) следует, что

т(х) ~ М(х). (2)

Итак, интегрируемость ( R) ограниченной функции f( x) равносильна соотношению (2).

Сопоставив этот результат с теоремой 1, получаем следующую теорему.

Теорема 2 (А. Лебег). Для того чтобы ограниченная функция f( x) была интегрируема (R),необходимо и достаточно, чтобы она была непрерывна почти везде.

Эта замечательная теорема представляет собой наиболее простой и ясный признак интегрируемости ( R). В частности, она оправдывает сделанное в пункте 2 замечание, что интегрируемыми ( R) могут быть только «не очень разрывные» функции.

Допустим теперь, что функция f( x) интегрируема ( R). Тогда она необходимо ограничена и почти везде будет

т(х) = М(х).

Но ведь

т(х) £ f( x) £ М(х).

Значит, почти везде

f( x) = m( x),

и f( x), будучи эквивалентна измеримой функции т(х), измерима сама. Так как всякая ограниченная измеримая функция интегрируема ( L), то такова же и f( x), т. е. из интегрируемости какой-нибудь функции в смысле Римана вытекает ее интегрируемость в смысле Лебега.

Наконец, из эквивалентности функций f( x) и т(х) следует, что

( L) = ( L) .

Но, как известно из курса Анализа, в условиях основной леммы для интегрируемой ( R) функции f( x) будет

s_i ® ( R) ,

где s_i есть нижняя сумма Дарбу, отвечающая i-муспособу дробления. Сопоставляя это с тем, что, как показано нами,

s_i ® ( L) ,

мы видим, что

( R) = ( L) .

Таким образом, имеет место

Теорема 3. Всякая функция, интегрируемая ( R), необходимо интегрируема и ( L), и оба ее интеграла равны между собой.

В заключение отметим, что функция Дирихле y( x) (равная нулю в иррациональных и единице в рациональных точках) интегрируема ( L) (ибо она эквивалентна нулю), но, как мы видели в пункте 2, не интегрируема ( R), так что теорема 3 не обратима.

Примеры

1) Вычислить интеграл Лебега от функции на интервале (1; 2).