Основные свойства интеграла

В этом параграфе мы установим ряд свойств интеграла от огра­ниченной измеримой функции.

Теорема 1. Если измеримая функция f( x) на измеримом мно­жестве Е удовлетворяет неравенствам a £ f( x) £ b, то

a × mE £ £ b × mE.

Это теорема обычно называется теоремой о среднем.

Доказательство. Пусть n натуральное число. Если мы положим

A = a - , B = b + ,

то окажется, что

A < f( x) < B,

и суммы Лебега можно будет составлять, дробя сегмент [А, В].

Но еслиA £ y_k £ B, то, очевидно,

A £ £ B

или, что то же самое,

A × mE £ s £ B × mE,

откуда и в пределе

mE £ £ mE.

В силу произвольности числа n, теорема доказана.

Из этой теоремы вытекает несколько простых следствий.

Следствие 1. Если функция f( x) постоянна на измеримом множестве Е и f( x) = с, то

= c × mE.

Следствие 2. Если функция f( x) не отрицательна (не положи­тельна), то таков же и ее интеграл.

Следствие 3. Если тЕ = 0, то для любой ограниченной функ­ции f( x), заданной на множестве Е, будет

= 0.

Теорема 2. Пусть на измеримом множестве Е задана изме­римая ограниченная функция f( x). Если множество Е есть сумма конечного числа или счетного множества попарно не пересекаю­щихся измеримых множеств

E =    (E_k = 0, k ¹ k^’),

то

=

Свойство интеграла, выражаемое этой теоремой, называется его полной аддитивностью.

Доказательство. Рассмотрим сначала простейший случай, когда число слагаемых равно двум

Е = +        ( = 0).

Если на множестве Е

A < f(x) < B

и мы, раздробив сегмент [А, В] точками у₀, y₁, ¼ , у _n, составим множества

e_k = E(y_k £ f < y_k+1),

e_k^’= E’(y_k £ f < y_k+1),

e_k^’’= E’’(y_k £ f < y_k+1),

то, очевидно, будем иметь

e_k = e_k^’ + e_k^’’ (e_k^’e_k^’’ = 0),

откуда

= +

н в пределе, при l ® 0,

 =  +

Итак, теорема доказана для случая двух слагаемых множеств. Пользуясь методом математической индукции, мы легко распространим теорему на случай любого конечного числа слагаемых множеств.

Остается рассмотреть случай, когда

E = .

В этом случае

 = mE,

так что при n ® ¥ будет

® 0.                                                                                                                           (*)

Заметив это, положим

= R_n.

Так как для конечного числа слагаемых множеств теорема уже дока­зана, то

 = + .

В силу теоремы о среднем

A × mR_n £ £ B × mR_n,

а в силу (*) мера mR_n множества R_n стремится к нулю с возраста­нием n, откуда ясно, что

® 0.

Но это и означает, что

=

Из этой теоремы вытекает ряд следствий.

Следствие 1. Если измеримые ограниченные функции f( x) и g( x), заданные на множестве Е, эквивалентны между собой, то

= .

Действительно, если

А = Е( f ¹ g), B = E( f = g),

то mA = 0 и

 =  = 0.

На множестве же В обе функции тождественны и

 = .

Остается сложить это равенство с предыдущим.

В частности, интеграл от функции, эквивалентной нулю, равен нулю.

Само собою разумеется, что последнее утверждение необратимо. Например, если f( x) задана на сегменте [-1, +1], так:

 

            1 при x ³ 0,  

f( x) =

           -1 при x < 0,

 

то

= + = -1 + 1 = 0,

хотя функция f( x) и не эквивалентна нулю.

Однако справедливо

Следствие 2. Если интеграл от неотрицательной из­меримой ограниченной функции f( x) равен нулю

( f( x) ³ 0),

то эта функция эквивалентна нулю.

В самом деле, легко видеть, что

E( f >0) = .

Если бы f( x) не была эквивалентна нулю, то необходимо на­шлось бы такое n₀, что

mE  = s > 0.

Полагая

A = E , B = B - A,

мы имели бы, что

³ s, ³ 0,

и, складывая эти неравенства, мы получили бы

³ s,

что противоречит условию.

Теорема 3. Если на измеримом множестве Q заданы две измеримые ограниченные функции f( x) и F( x), то

 =  + .

Теорема 4. Если на измеримом множестве Е задана изме­римая ограниченная функция f( x) и с есть конечная постоянная, то

 = c .

Следствие. Если f( x) и F(х) измеримы и ограничены на мно­жестве Е, то

 = - .

Теорема 5. Пусть f( x) и F(х) измеримы и ограничены на измеримом множестве Е. Если

f(x) £ F(x),

то

£ .

Действительно, функция F( x)— f( x) не отрицательна, так что

 -  =  ³ 0.

Теорема 6. Если функция f( x) измерима и ограничена на измеримом множестве E, то

£