Закон сохранения массы.

Суммарное количество массы в изолированной системе неизменно:

Рассмотрим закон сохранения массы для открытых систем.

Интегральная форма (материальный баланс).

Изменение массы в некором фиксированном объеме V вызывается разностью прихода и отвода массы из выделенного объема:

 

                                                                       (2.29)

 

Через массовый расход: G =

 

 = G _вх - G _вых                               (2.30)

                       

Для i-го компонента:

 

= G_{i вх} – G_{i вых} +                                (2.31)

 

Здесь V_mi масса компонента i, образующаясяв еденице объема за еденицу времени.

Локальная форма сохранения массы.

              

  z            

          j^m_x                       j^m_{x +dx}

 

 

                                      x

 

 

Рис.2.4.

 

 

Массовый расход среды, входящий в объем dV в напралении оси X через левую площадь dy dz (рис.2.4.):G_{x вх} = j^m_x dydz , а выходящий через противоположную площадь dydz.

G_{x вых} = j^m_{x + dx} dydz = ( j^m_x + ) dydx                      (2.31)

 

Иззменение массы в объеме dV за счет переноса по направлению X :

 

G_{x вх} – G_{x вых} = - dxdydz = -                      (2.32)

 

Суммараное изменение массы в объеме dV равно сумме изменений по всем трем осям:

 

G _вх – G _вых =                                     (2.33)

 

Изменение массового расхода в объеме dV только за счет изменения плотности:

G _вх – G _вых = dV                                 (2.34)

 

Тогда получим:

   = 0                                (2.35)

 

Или упрощенно:

)                             (2.36)

    Уравнение неразрывности для сжимаемой среды.

    Если плотность постоянная:

( W )=0                                                          (2.37)

Уравнение неразрывности для несжимаемой среды.

В многокомпонентной системе закон сохранения i-го компонента:

 

                                       (2.38)

Здесь t_mi – изменение массы компонента i за счет источника (хим. реакция).

В общем случае закон сохранения массы применительно к единичному объему можно сформулировать следующим образом:

 

Скорость               Результирующая                 источник

Накопления =   скорость поступления +   массы

Массы                    массы                                         

 

Для многокомпонентных систем уравнение записывают обычно для потока вещества и тогда вместо плотностей используются мольные концентрации компонентов:

 

                                    (2.39)

где m_i – мольная масса компонента i.

При отсутствии источника массы, с учетом выражения для потока компонента, нестационарная конвективная диффузия записывается уравнением:

 

                                     (2.40)

 

Распишем уравнение (2.40):

          (2.41)

 

При допущении D_ij =const и равенстве нулю среднемассовой скорости получим:

                                                (2.42)

 Это и есть второй закон Фика.

 Для стационарной диффузии

= 0                                                        (2.43)  

 

2.1.5.2 Закон сохранения массы.

Изолированная система не обменивается с окружающей средой массой и энергией; поэтому суммарная энергия этой системы постоянна:

E = const , E = 0, = 0

 

Рассмотрим закон сохранения энергии для открытой системы.

Интегральная форма закона сохранения энергии(первый закон термодинамики).

Изменение энергии в системе вызывается разностью прихода и расхода энергии. Учитывая, что энергия может передаваться в форме теплоты и работы можно записать:

E ¢ = (Q ¢ T _пр - Q ¢ _{T расх} ) + (A ¢ _пр - A ¢ _расх )

 

Или

 

dE ¢ = d Q ¢ - d A¢                                          (2.44)

 

E¢ - штрих означает, что E отнесена к еденице массы.

dА¢ = (А¢_пр - А¢_расх)    работа совершаемая над системой, поэтому перед dА¢ в уравнение (2.44) знак « - ».

Энергия системы складывается из внутренней U, кинетической Eк и потенциальной Еп. Если потенциальная энергия обусловлена полем силы тяжести, то Е¢_п = gh:

Е ¢ = U ¢ + W ² /2 + gh                                      (2.45)

Работа может совершаться движущейся средой по преодолению внешнего давления и трения:

d А ¢ = d ( P / r ) + d A ¢ _тр                                            (2.46)

Тогда с учетом (2.45) и (2.46) уравнение (2.44) можно переписать:

 

d Q ¢ _T = dE ¢ + d A ¢ = dU ¢ + d( ) + + gdh + d A ¢ _тр      (2.47)

Рассмотрим частный случай закона сохранения энергии. Для изотермической идеальной жидкости (трение отсутствует, теплообмена с окружающей средой тоже нет) можно записать:

dU ¢ = 0, d Q ¢ _T = 0, d A ¢ _тр = 0

Тогда получим:

d ( ) + + gdh = 0                   (2.48)

 

После интегрирования получим:

  + + gh = const                     (2.49)

Это и есть уравнение Бернулли, выражающее закон сохранения маханической энергии одиночной массы среды.

 

Локальная форма закона сохранения энергии.

Локальное уравнение сохранения энергии можно получить для единичного объема следующим образом:

Скорость             результирующая         скорость             скорость                                                          Накопления     =        скорость                совершения        совершения

Энергии                 подвода         -     работы        -   работы 

                                   энергии                  против сил          против сил

                                                                          давления            трения

 

Переносимая субстанция – энергия еденичного объема rЕ¢. Тогда:

                         (2.50)

 

На практике при рассмотрении процесса переноса тепла в изобарных условиях можно пренебречь работой по преодолению сил трения и изменением механической энергии, тогда можно записать:

 

( )                                     (2.51)

 

В этих условиях rE¢ = C_prT. Раскрывая выражения и получим:

                        (2.52)

 

В частном случае ламинарного движения и постоянства теплофизических характеристик (C_p, r, l = const, l_T = 0)

Это уравнеие упрощается:

 

= ѲT                                                        (2.53)

 

Здесь  = - коэффициент молекулярной температуропроводности. Распишем уравнение (2.53):

 

- Уравнение Фурье-Кирхгофа.

 

При теплопереносе в неподвижной среде (W = 0) получим уравнение нестационарной теплопроводности Фурье:

 

= aѲT                                                       (2.54)

 

 

Для случая стационарного переноса тепла получено:

 

Ñ²Т = 0                                                           (2.55)

 

Решение дифференциальных уравнений, полученных на основе закона сохранения совместно с условиями однозначности, позволяет получить поля температуры и поток тепла в аппарате.