Методы регрессионного и корреляционного анализа

Для проведения регрессионного анализа необходимо выполнение следующих условий:

1. Входной параметр х измеряется с пренебрежимо малой ошибкой. Появление ошибки в определении у объясняется наличием в процессе невыявленных переменных, не вошедших в уравнение регрессии.

2. Результаты наблюдений над выходными величинами  представляют собой независимые нормально распределенные случайные величины.

3. При проведении эксперимента с объемом выборки N при условии, что каждый опыт повторен m раз, выборочные дисперсии  должны быть однородны.

Определение однородности дисперсий сводится к следующему:

1) вычисляется среднее из результатов параллельных опытов:

, ;

2) определяются выборочные дисперсии:

, ;

3) находится сумма дисперсий ;

4) составляется отношение:

,

где  – максимальное значение выборочной дисперсии. Дисперсии однородны в том случае, когда , где  – табулированное значение критерия Кохрена при уровне значимости р.

Если выборочные дисперсии однородны, рассчитывается дисперсия воспроизводимости:

.

Число степеней свободы этой дисперсии f равно:

.

Дисперсия воспроизводимости необходима для оценки значимости коэффициентов уравнения регрессии. Оценка значимости коэффициентов производится по критерию Стьюдента:

,

где  – j-ый коэффициент уравнения регрессии;  – среднее квадратичное отклонение j-го коэффициента.

Если  больше табулированного  [5, 6, приложение 1] для выбранного уровня значимости р и числа степеней свободы f, то коэффициент  значимо отличается от нуля.  определяется по закону накопления ошибок:

.

Если , получим:

.

Незначимые коэффициенты исключаются из уравнения регрессии. Оставшиеся коэффициенты пересчитываются заново, поскольку коэффициенты коррелированы друг с другом.

Адекватность уравнения проверяется по критерию Фишера:

,                                                                   (2а)

где  – остаточная дисперсия:

.

Если отношение (2а) меньше табличного  [5, 6, приложение 2]:

, , ,

то уравнение адекватно.

При отсутствии параллельных опытов и дисперсии воспроизводимости  остаточная дисперсия определяется следующим образом:

.

Тогда адекватность принятого уравнения оценивается сравнением  и дисперсии относительно среднего :

по критерию Фишера

.                                                                       (2б)

В этом случае критерий Фишера показывает, во сколько раз уменьшается рассеяние относительно полученного уравнения регрессии по сравнению с рассеянием относительно среднего. Чем больше значение F превышает табличное:

, ,

для выбранного уровня значимости р и чисел степеней свободы, тем эффективнее уравнение регрессии.