ОПИСАНИЕ ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНО-СТАТИСТИЧЕСКИХ МЕТОДОВ

В тех случаях, когда информации о рассматриваемом процессе недостаточно или процесс настолько сложен, что невозможно составить его детерминированную модель, прибегают к экспериментально-статистическим методам [1, 5, 6]. Процесс при этом рассматривают как “черный ящик”. Различают пассивный и активный эксперимент.

Пассивный эксперимент является традиционным методом, когда ставится большая серия опытов с поочередным варьированием каждой из переменных; к пассивному эксперименту относится также сбор исходного статистического материала в режиме эксплуатации на промышленном объекте. Обработка опытных данных в этом случае для получения математической модели проводится методами классического регрессионного и корреляционного анализа.

Активный эксперимент ставится по заранее составленному плану (планирование эксперимента), при этом предусматривается одновременное изменение всех параметров, влияющих на процесс, что позволяет сразу установить силу взаимодействия параметров и поэтому сократить общее число опытов.

Используя при обработке опытных данных принципы регрессионного и корреляционного анализа, удается найти зависимость между переменными и условиями оптимума. В обоих случаях математической моделью является функция отклика, связывающая параметр оптимизации, характеризующий результаты эксперимента, с переменными параметрами, которыми экспериментатор варьирует при проведении опытов:

.

Принято называть независимые переменные  факторами, координатное пространство с координатами  – факторным пространством, а геометрическое изображение функции отклика в факторном пространстве – поверхностью отклика.

При использовании статистических методов математическая модель представляется в виде полинома – отрезка ряда Тейлора, в который разлагается неизвестная зависимость

где

, , .

В связи с тем, что в реальном процессе всегда существуют неуправляемые и неконтролируемые переменные, изменение величины носит случайный характер. Поэтому при обработке экспериментальных данных получаются так называемые выборочные коэффициенты регрессии , , , , являющиеся оценками теоретических коэффициентов , , , . Уравнение регрессии, полученное на основании опыта, запишется следующим образом:

Коэффициент  называют свободным членом уравнения регрессии; коэффициенты  – линейными эффектами; коэффициенты  – квадратичными эффектами; коэффициенты  – эффектами взаимодействия. Коэффициенты уравнения определяются методом наименьших квадратов из условия:

.

Здесь N – объем выборки из всей совокупности значений исследуемых параметров. Разность между объемом выборки N и числом связей, наложенных на эту выборку L, называется числом степеней свободы выборки f:

.

При отыскании уравнения регрессии число связей равно числу определяемых коэффициентов.

Вид уравнения регрессии выбирается путем экспериментального подбора. При изучении зависимости от одного переменного параметра полезно для определения вида уравнения регрессии построить эмпирическую линию регрессии.

Рис. 3.1. Корреляционное поле

Для этого весь диапазон изменения х на поле корреляции разбивается на равные интервалы  (рис. 3.1). Все точки, попавшие в интервал , относят к его середине . Для этого подсчитывают частные средние :

,

здесь  – число точек в интервале

,

где k – число интервалов разбиения, N – объем выборки.

Затем последовательно соединяют точки  отрезками прямой. Полученная ломаная линия называется эмпирической линией регрессии у по х. По виду эмпирической линии регрессии можно подобрать уравнение регрессии .

Задача определения параметров уравнения регрессии  сводится практически к определению минимума функции многих переменных. Если  есть функция дифференцируемая и требуется выбрать  так, чтобы

,

то необходимым условием минимума  является выполнение равенств

или

.

После преобразований получим:

.

Система, уравнений содержит столько же уравнений, сколько неизвестных коэффициентов  … входит в уравнение регрессии и называется в математической статистике системой нормальных уравнений.

Величина  при любых  …, следовательно, у нее обязательно должен существовать хотя бы один минимум. Поэтому, если система нормальных уравнений имеет единственное решение, то оно и является минимумом для величины Ф. Решать систему в общем виде нельзя. Для этого надо задаться конкретным видом функции f.

Для оценки силы линейной связи вычисляется выборочный коэффициент корреляции:

                                                (1)

где ,  – выборочные среднеквадратичные отклонения.

После того как уравнение регрессии найдено, необходимо провести статистический анализ результатов. Этот анализ состоит в следующем: проверяется значимость всех коэффициентов регрессии в сравнении с ошибкой воспроизводимости и устанавливается адекватность уравнения. Такое исследование носит название регрессионного анализа.