гиперболическими функциями

 

Для однородной линии, рассматриваемой как четырехполюсник (рис. 13.7), волновое сопротивление совпадает с характеристическим сопротивлением.

 

Þ

 

 

Рис. 13.7

 

Уравнения линии как симметричного четырехполюсника могут быть записаны в А-

 

параметрах:

 

é ù

ë

û

êU1 ú = é 11 1               21

 

 

é ù

A

A

ë

û

12 ùêU2 ú, 22      2

 

 

é ù

ë

û

êU2 ú = éA22 2                21

 

 

é ù

A

A

ë

û

12 ùêU1 ú, 11       1

 

1

Так как A = U1 + I1Z с , A2 = U1 -I1Z с , то подставив эти выражения в уравнения

 

линии, получим:

 

1

2

U(x) = A e-gx + A egx = 1(U1 +I1Z с )e-gx + 1(U1 -I1Z с )egx ,

 

I(x) = A e-gx - A egx = 1æU1 + I öe-gx - 1æU1 -I öegx . с с                 è с                         ø       è с           ø

 

Группируя члены в левой и правой части, будем иметь уравнения линии вгиперболических функциях:

γx       -gx                             gx       -gx

U(x) =U1        2    -I1Z c             2    =U1 ch gx-I1Z c sh gx gx     -gx                  gx      -gx

c                                                                                                      c

I(x) = - Z1             2    + I1            2    = - Z1 sh gx+ I1 ch gx

 

Формулы (7.8) определяют комплексные ток и напряжение в любой точке линии по значениям напряжения и тока в начале линии.

3        4

Принимая x = 0 в конце линии, т.е. U(0) =U2 =U2пр +U2обр = A + A ,

 

I(0) = I2 = I2пр - I2обр = A - A , учитывая, что A3 = U2 + I2 Z с , A4 = U2 -I2 Z с , получим c c

 

4

U(x) = A3egx + A e-gx = 1(U2 +I2Z с )egx + 1(U2 -I2Z с )e-gx ,

 

I(x) = A3 egx - A e-gx = 1æU2 + I öegx - 1æU2 -I öe-gx . с с                 è с                      ø         è с            ø

 

Комплексные ток и напряжение при заданных значениях напряжения и тока в конце линии могут быть найдены по формулам (уравнения линии вгиперболических функциях):

U(x) =U2 ch gx+ I2Z c sh gx I(x) = U2 sh gx+ I2 ch gx                     .

c

 

Таким образом, А-параметры при рассмотрении линии как четырехполюсника имеют вид:

 

A

A

1

2

11 =chgl = 22, A2 = Z c shgl , A 1 = shgl . c

 

Разделив первое уравнение линии в А-параметрах на второе уравнение, с учетом

 

U2 = Zн (см. рис. 13.7) получим входное сопротивлении линии Zвх = I1 = Z с Z с +Zн thgl.

 

В режиме холостого хода (х) (Zн = ∞) и в режиме короткого замыкания (к) (Zн = 0) для входного сопротивления линии имеем

Zх = Z с cthgl, Zк = Z с thgl.

 

Имеют место следующие соотношения:

 

Z с = Zх Zк , Zвх = Zх Zн +Zк , н        х

 

thgl = Zк     . х

 

Для входного сопротивления линии, работающей в режиме согласованной нагрузки

 

(Zн = Zс) имеем Zвх = Z с. Если Zн =Zс, то

 

U(x) =U2 ch gx+ I2Z c sh gx =U2egx

I(x) = U2 sh gx+ I2 ch gx = I2egx c

 

и входное сопротивление U1 = U2 = Z c = Z c e jq . 1                  2

 

2

Активная мощность может быть найдена по формуле P(x) =U I cosq = Z c e2ax cosq,

 

отношение мощностей на выходе и входе линии h= P = e-2al . 1

 

u          u           i          i

Для линии длиной l:gl = lnU1 = ln I1 , al = lnU1 = ln I1 , bl = y -y = y -y ,где 1 2                 1             2

2                 2                               2                2

 

u   u    i   i

y ,y ,y ,y –начальные фазы напряжений и токов в начале и конце линии. 1 2                 1           2

 

Если U2 =U2Ð0o, то при отсчете расстояния от конца линии мгновенные значения

 

u(x,t) =U2m eax sin(wt +bx), i(x,t) = U2m eax sin(wt +bx-q). c

При произвольном сопротивлении нагрузки в линии возникает обратная волна.

 

 

Комплексную число  r , определяемое по формуле

Zн -Z c Zн +Z c

 

называют

 

коэффициентом отражения. Оно связывает комплексы напряжений и токов обратной (отраженной) и прямой (падающей) волн в конце линии U2обр = rU2пр (рис. 13.8).

 

 

Так как U2 =U2пр + U2обр =U2пр(1+r), то U2пр = (1+r) ,

I2пр = U2пр , I2обр =rI2пр . c

 

Тогда Uпр(x) =U2прeax e jbx , Uобр(x) =U2обрe-ax e- jbx =rU2прe-ax e- jbx .

 

 

Рис. 13.8

 

При         Zн =Z с          r = 0, обратной волны не возникает и U(x) =U2пр =U2egx ,

 

I(x) = I2пр = I2egx . Отсутствие обратной волны имеет то преимущество, что вся мощность,

 

переносимая прямой волной концу линии, поглощается сопротивлением нагрузки. Если r ¹ 0, то часть мощности прямой волны возвращается источнику обратной волной.