Напряжении и сточника.

 

 

При расчете установившихся режимов при синусоидальном напряжении источника заданной частоты  w= 2pf используют комплексный метод расчета. Так как в

рассматриваемых процессах токи и напряжения – функции двух переменных i(x,t),

 

u(x,t), то соответствующие им комплексные токи и напряжения остаются функцией

 

одной пространственной координаты x: i(x,t)® I m(x), u(x,t) ®U m(x) или i(x,t)® I(x),

 

u(x,t) ®U(x), где I(x) = I m(x) , U(x) = U m(x) . Учитывая, что ¶t ® jw, ¶x ® dx

 

получим уравнения для комплексных токов и напряжений:

 

0

-dU = R0 I + jwL I = (R0+ jwL0)I

 

0

-dI =G0U + jwC U = (G0+ jwC0)U .

 

0

Обозначим Z0 = R0+ jwL - комплексное сопротивление на единицу длины,

 

0

Y =G0+ jwC0 - комплексная проводимость на единицу длины. Тогда

 

0

-dU = Z 0 I и -dI =YU .

 

Продифференцируем уравнения: - dx2 = Z0 dx и - dx I =Y dx . После подстановки получаем уравнения Гельмгольца:

2

2

-d U = Z0Y dU и -dx I = Z0Y dI .

 

Дифференциальные уравнения, определяющие комплексные напряжения и ток U(x)и I(x) одинаковые.

Определим вторичные параметры однородной линии: характеристическое (волновое)

 

сопротивление Z с = Z0 = 0

R0+ jwL0 G0+ jwC0

 

(также обозначают Z в ) и коэффициент

 

распространения g = Z0Y0 = (R0+ jwL )(G0+ jwC0) . Коэффициент распространения

 

принято представлять в виде g =a+ jb, где действительные величины α и β называют

 

коэффициентом ослабления (α) и коэффициентом фазы (β). Единицей коэффициента

 

ослабления является Нп/м [Нп/км], а коэффициента фазы рад/м [рад/км] (Нп – непер, рад – радиан).

 

Рис. 13.2

 

Решение дифференциального уравнения для комплексных напряжений и токов

 

U = U(x) и I = I(x) в координате, находящейся на расстоянии х от начала линии (рис. 13.2) может быть представлено в виде алгебраической суммы двух составляющих прямых и обратных волн:

U = Uпр + Uобр, I = Iпр – Iобр, Iпр = Uпр/Z с, Iобр = Uобр/Z с, где Uпр = A e-gx = A e-ax e- jbx , Uобр = A2egx = A2eax e jbx ,

1

1

2

A = A e jy1 , A2 = A e jy2 -комплексные постоянные интегрирования.

 

1        2

Пусть на входе линии (рис. 13.3,а) напряжение U(0) =U1 =U1пр +U1обр = A + A ,

 

1

ток I(0) = I1 = I1пр - I1обр = A - A , следовательно, U1пр = A = U1 + I1Z с , c          c

 

U = A =

.

U1 -I1Z с 1обр         2                   2

 

Если расстояние отсчитывается о т конца линии (рис. 13.3,б), то для комплексного напряжения и тока сумма составляющих прямых и обратных волн U = Uпр + Uобр,

I = Iпр – Iобр, для прямой волны Uпр = A3egx = A3eax e jbx , обратной

 

3                                   4

Uобр = A4e-gx = A4e-ax e- jbx , A3 = A e jy3 , A4 = A e jy4 - комплексные постоянные

 

интегрирования.

 

3        4

При x = 0 в конце линии U(0) =U2 =U2пр +U2обр = A + A , I(0) = I2 = I2пр - I2обр = Z c - Z c , следовательно, U2пр = A3 = U2 + I2 Z с , U2обр = A4 = U2 -I2 Z с .

 

 

а)                                                          б) Рис. 13.3

Введенные понятия прямых и обратных волн при установившемся синусоидальном режиме облегчают представление и анализ процессов в линиях с распределенными параметрами.                       Физически существует результирующий режим, разложение на составляющие – удобный прием анализа процессов. В уравнение для напряжения

(U = Uпр + Uобр) оба слагаемых результирующего напряжения входят со знаком «плюс», так как напряжение и прямой и обратной волны направлены от прямого провода к обратному. Для тока ( I = Iпр – Iобр) положительное направление выбрано по току прямого провода, поэтому второе слагаемое имеет знак «минус», т.е. результирующий ток находится как разность прямого и обратного тока.

Переход в вещественную (временную) область дает решение для мгновенных значений (x = 0в начале линии):

1

2

u(x,t) = 2A e-ax sin(wt -bx+y1)+ 2A eax sin(wt +bx+y2);

 

c

c

i(x,t) = 2 Z1 e-ax sin(wt -bx+y1 -q)- 2 Z2 eax sin(wt +bx+y2 -q),

 

где Zс и θ – модуль и фаза характеристического (волнового) сопротивления Z c = Z c e jq .

 

Каждое из слагаемых напряжения и тока описывает бегущую волну. Причем первое

 

слагаемое соответствует прямой волне – она движется в направлении возрастания координаты х, а второе слагаемое – обратной волной, которая движется в направлении убывания координаты х.

Замечание: Каждое из слагаемых в любой фиксированной координате х= х1 представляет собой периодическую функцию времени, т.е. описывает простые гармонические колебания с частотой, определяемой частотой источника w= 2pf . Любое колебание

1

2

определяется амплитудой и фазой. Так как рассматриваемая линия с потерями, то по мере распространения колебаний вдоль линии часть электромагнитной энергии поглощается и амплитуда колебаний убывает по экспоненциальному закону: для прямой волны напряжения по закону                                      2Ae-ax , для обратной 2A eax .

 

Рис. 13.4.

 

1

Затухающая прямая волна, движущаяся от начала линии вписывается в область, ограниченную огибающими ± 2A e-ax (рис. 13.4). Волна, движущаяся от конца лини –

2

обратная волна также вписывается в область, ограниченную огибающими ± 2A eax (рис.

 

13.5).

 

 

Рис. 13.5

 

Основными характеристиками бегущей волны являются фазовая скорость и длина волны. Фазовой скоростью волны v называется скорость перемещения фиксированной

фазы колебания, перемещаясь с которой фаза остается постоянной, т.е. wt -bx+y1 =con s t. Тогда dt (wt -bx+y1) = 0 и b dt = w, фазовая скорость v = dx = w .

Для обратной волны wt +bx+y2 =con s t и выражение для фазовой скорости

 

аналогично, но с обратным знаком. Длиной волны λ называется расстояние между ближайшими двумя точками, колеблющимися в одной фазе. Расстояние берется в направлении движения волны,                для прямой и обратной волны λ (рис. 13.4, 13.5) определяется из                            соотношения wt -b(x+l)+y1 =wt -bx+y1 -2p                            или

wt +b(x+l)+y2 =wt +bx+y2 +2p. Следовательно, длина волны λ = 2π .

 

Длина волны зависит от частоты и фазовой скорости: l = v . При этом изменение

 

фазы по длине линии l составит bl («фазовый набег»). Это изменение фазы будет

 

существенно влиять на процессы в линии, если bl будет соизмерим с 2p или длина линии

 

б у дет соизмерима с длиной волны (рис. 13.6). На разных частотах длина волны разная,

 

поэтому линия длиной l может быть рассмотрена и как цепь с распределенными параметрами (рис. 13.6) и как цепь с сосредоточенными параметрами, если bl                         2p и l     l.

 

 

Рис. 13.6