Расчет комплексного входного сопротивления цепи

КУРСОВАЯ РАБОТА

 

по дисциплине «Электротехника и электроника»

 

по теме

«Расчет линейных электрических цепей с синусоидальным источником ЭДС с использованием символического метода»

 

 

Вариант № 13

 

 

Выполнил: студент группы ЭН-151  

Плюхин А. А.

 

 

Проверил: ассистент кафедры ТиОЭ

Кощук Г. А.

 

                                                                

 

 

Омск 2016

Техническое задание к курсовой работе

В электрической цепи (рис. 1), содержащей один источник электрической энергии напряжением , выполнить следующие действия:

1. Определить комплексное входное сопротивление цепи.

2. Найти действующие и мгновенные значения токов во всех ветвях схемы.

3. Рассчитать действующие значения падений напряжений на всех элементах цепи.

4. Составить баланс мощностей.

5. Провести проверку расчетов по I и II законам Кирхгофа.

6. Построить топографическую векторную диаграмму токов и напряжений.

При решении поставленных задач использовать символический метод расчета.

Рис. 1. Схема электрической цепи

Параметры элементов электрической цепи заданы в таблице 1.

Таблица 1

Вариант	Номер схемы	U	j	f	r1	r2	r3	L1	L2	L3	C1	C2
		В	град	Гц	Ом			мГн			мкФ
13	3	100	-30	70	16	18	11	49	43	24	193	175

 

ОГЛАВЛЕНИЕ

 

ВВЕДЕНИЕ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .	4
1. ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ ЧАСТЬ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .	5
2. РАСЧЕТНАЯ ЧАСТЬ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .	6
2.1. Расчет комплексного входного сопротивления цепи . . . . . . . . .	6
2.2. Расчет действующих и мгновенных значений токов во всех ветвях цепи . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .	7
2.3. Расчет действующих значений падений напряжений на всех элементах цепи. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .	8
2.4. Составление баланса мощностей . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .	9
2.5. Проверка расчетов по I и II законам Кирхгофа . . . . . . . . . . . . . .	10
2.6. Построение топографической векторной диаграммы токов и напряжений . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .	11
ЗАКЛЮЧЕНИЕ. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .	12
Список использованной литературы. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .	13

 

ВВЕДЕНИЕ

В данной курсовой работе исследуем электрическую цепь, содержащую один источник электрической энергии напряжением  резисторы, катушки индуктивности и конденсаторы. Определим комплексное входное сопротивление цепи. Используя найденные сопротивления, найдем действующие и мгновенные значения токов во всех ветвях цепи по закону Ома. Рассчитаем действующие значения падений напряжений на всех элементах цепи. Чтобы проверить правильность расчетов, составим баланс мощностей, также проверим расчеты по I и II законам Кирхгофа. После всех расчетов и проверок построим топографическую векторную диаграмму токов и напряжений.

Закон Ома для участка цепи - ток прямо пропорционален напряжению и обратно пропорционален сопротивлению. Если увеличить в несколько раз напряжение, действующее в электрической цепи, то ток в этой цепи увеличится во столько же раз.

Баланс мощностей – это выражение закона сохранения энергии, в электрической цепи. Определение баланса мощностей звучит так: сумма мощностей потребляемых приемниками, равна сумме мощностей отдаваемых источниками. То есть если источник ЭДС в цепи отдает 100 Вт, то приемники в этой цепи потребляют ровно такую же мощность.

I закон Кирхгофа – сумма алгебраическая сумма токов сходящихся в узле равна нулю. Узел - это область соединения двух (или трёх) и более ветвей.

II закон Кирхгофа: «в любом замкнутом контуре электрической цепи алгебраическая сумма комплексных ЭДС равна алгебраической сумме комплексных напряжений на всех пассивных элементах этого контура»

 

ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ ЧАСТЬ

Сущность символического метода расчета цепей синусоидального тока состоит в том, что для упрощения расчета переходят от решения уравнений для мгновенных значений токов и напряжений, являющихся интегро-дифференциальными уравнениями, к алгебраическим уравнениям в комплексной форме. Метод называют символическим потому, что токи и напряжения заменяют их комплексными изображениями или символами [1]. При таких условиях расчет цепи удобнее вести для комплексных действующих величин синусоидальных токов и напряжений.

В данной курсовой работе для определения токов и напряжений каждого элемента схемы, содержащей только один источник электрической энергии, следует использовать метод эквивалентных преобразований, поскольку известны сопротивления всех элементов цепи и ЭДС источника.

Для решения такой задачи отдельные участки электрической цепи с последовательно или параллельно соединенными элементами заменяют одним эквивалентным комплексным сопротивлением, как показано на рисунке 2. Электрическую схему упрощают постепенным преобразованием отдельных участков и приводят к простейшей цепи, содержащей источник электрической энергии и эквивалентный пассивный элемент (рис. 3), включенный последовательно [1].

В электрических цепях переменного тока наиболее часто используют синусоидальную форму, характеризующуюся тем, что все токи и напряжения являются синусоидальными функциями времени. В генераторах переменного тока получают ЭДС, изменяющуюся во времени по закону синуса, и тем самым обеспечивают наиболее выгодный эксплуатационный режим работы электрических установок. Кроме того, синусоидальная форма тока и напряжения позволяет производить точный расчет электрических цепей с использованием метода комплексных чисел и приближенный расчет на основе метода векторных диаграмм. При этом для расчета используются законы Ома и Кирхгофа, но записанные в векторной или комплексной форме. Для сравнения действий постоянного и переменного токов вводят понятие действующее значение переменного тока.

Действующее значение переменного тока численно равно такому постоянному току, при котором за время равное одному периоду в проводнике с сопротивлением R выделяется такое же количество тепловой энергии, как и при переменном токе.

Рассмотрим переменные ЭДС, токи и напряжения и величины, которыми они характеризуются.

Переменными называют ЭДС, токи и напряжения, изменяющиеся с течением времени. Они могут изменяться только по значению или только по направлению, а также по значению и направлению.

Цепи, в которых действует переменный ток - называют цепями переменного тока.

В электроэнергетике наибольшее применение получил переменный ток, изменяющийся во времени по синусоидальному закону.

Переменные электрические величины являются функциями времени, их значения в любой момент времени t называют мгновенными и обозначают строчными буквами. Например, выражение мгновенного значения синусоидального тока определяется тригонометрической функцией

 

i = I_msin(ωt+ψ_i),

 

единственной переменной в правой части, которой является время t. Амплитуда I_m равна максимальному значению тока. Аргумент синуса (ωt+ψ_i), измеряемый в радианах, определяет фазный угол синусоидальной функции тока в любой момент времени t и называется фазой, а величина ψ_i, равная фазному углу в момент начала отсчёта времени (t=0), - начальной фазой. Величина ω определяет число радианов, на которое изменяется фаза колебаний за секунду, и называется угловой частотой.

Синусоидальные ЭДС, ток и напряжение являются периодическими функциями времени. Через промежуток времени Т, называемый периодом, фаза колебаний изменяется на угол 2π, и цикл колебаний повторяется снова: i(t)=i(t+T) (Рис. 2.1), следовательно, период и угловая частота связаны соотношением ωТ=2π. Длительность периода принято измерять в секундах. Величину, обратную периоду, называют частотой и обозначают f. Частота определяется количеством периодов в секунду: f=1/T и измеряется в герцах (Гц).

Очевидно, что:

 

ω = 2π/T = 2πf.

 

Рис 2.1. Изменение синусоиды тока во времени

 

Всё сказанное относительно тока справедливо также для синусоидально изменяющихся напряжений u(t) и ЭДС e(t).

 

При совместном рассмотрении нескольких синусоидальных электрических величин одной частоты обычно интересуются разностью их фазовых углов, называемой углом сдвига фаз. Угол сдвига фаз двух синусоидальных функций определяют как разность их начальных фаз. Если синусоиды имеют одинаковые начальные фазы, то говорят о совпадении по фазе, если разность фаз равна , то говорят, что синусоиды противоположны по фазе. Фазовые соотношения имеют очень важное значение при анализе электрических цепей переменного тока. Угол сдвига фаз между током и напряжением участка цепи принято обозначать буквой φ и определять вычитанием начальные фазы тока из начальной фазы напряжения:

 

 = - .

 

Угол φ - величина алгебраическая. Если > , то >0, при этом говорят, что напряжение опережает ток по фазе или ток отстаёт по фазе от напряжения. В случае < <0, т.е. напряжение отстаёт по фазе от тока или ток опережает напряжение, как это можно пронаблюдать на рис 2.2:

 

Рис. 2.2 Диаграмма напряжения и тока: а) со сдвигом по фазе (φ = ψ_u - ψ_i); б) с одинаковыми начальными фазами (ψ_u = ψ_i).

 

В практике применения переменных токов широко пользуются понятием действующего значения электрической величины. Действующим называют среднее квадратичное значение переменной электрической величины за период. Действующий ток обозначают той же буквой, что и соответствующее амплитудное значение, но без индекса m:

I = .

Тепловое и электромеханическое действия тока пропорциональны квадрату его мгновенного значения, поэтому именно действующий ток I может служить количественной мерой их оценки за период.

Между амплитудой и действующим значением для синусоидальных величин установлена связь. Если i = I_msin ωt, то

 

,

 

следовательно, в соответствии с определением:

 

I = I / .

 

Для действующих значений синусоидально изменяющихся напряжения, ЭДС и магнитного потока справедливы аналогичные выражения:

 

U = U / ,

E = E / ,

Ф = Ф / .

 

Если говорят о значениях переменного напряжения, ЭДС или тока, то, как правило, подразумевают их действующие значения.

Диапазон напряжений и токов, используемых в электротехнике очень широк. Обычно приборы для измерения переменных токов и напряжений градуируют в действующих значениях.

Во многих случаях основные характеристики электротехнических устройств могут быть получены и описаны с помощью известных из курса физики интегральных понятий (скалярных величин) : тока, электродвижущей силы (ЭДС), напряжения. При таком описании совокупность электротехнических устройств рассматривают как электрическую цепь, состоящую из источников и приёмников электрической энергии, характеризуемых ЭДС, током I, напряжением U. Источники и приёмники электрической энергии, являющиеся основными элементами электрической цепи, соединяют проводами для обеспечения замкнутого пути для электрического тока. Для включения и отключения электротехнических устройств применяют коммутационную аппаратуру (выключатели, рубильники, тумблеры). Кроме этих элементов в электрическую цепь могут включаться электрические приборы для измерения тока, напряжения, мощности.

Для анализа цепей переменного тока как правило пользуются схемами замещения составленными из идеальных элементов: резистивного R, емкостного C, индуктивного L, источника ЭДС E, источника тока J.

К идеальным резистивным элементам могут быть отнесены реостаты, большинство электронагревательных устройств; резисторы.

К емкостным относятся конденсаторы.

Примером индуктивного идеального элемента электрической цепи является индуктивная катушка.

Идеальным источником может служить энергосистема и промышленная сеть переменного тока.

Таким образом, поскольку RLC – цепи нашли применение практически во всех электрических цепях различных устройств, в случае их применения в переменных электрических цепях, необходимо учитывать их влияние на изменение фазы напряжения и тока.

Величина комплексного сопротивления , как любое комплексное число, может быть представлена в показательной, тригонометрической или алгебраической форме:

 

,

 

где - вещественная часть комплекса полного сопротивления, ее называют активной составляющей комплекса полного сопротивления;

- мнимая часть комплекса полного сопротивления, ее называют реактивной составляющей комплекса полного сопротивления;

- модуль комплекса полного сопротивления;

 - фаза комплекса полного сопротивления, изменяется в пределах .

Величину обратную комплексу полного сопротивления называют комплексом полной проводимости (КПП):

 

,

где .

Для получения в "буквах" активной и реактивной составляющих комплекса полной проводимости по заданным в "буквах" активной и реактивной составляющим комплекса полного сопротивления:

 

;

 

Таким образом, используя полученные формулы, расчетным путем можно получить фазовые соотношения напряжений и токов RLC – цепи, и, построив диаграммы по этим значениям, наглядно пронаблюдать за поведением напряжений и токов, с учетов сдвигов по фазе.

Основными законами, используемыми для анализа и расчёта электрических цепей, являются первый и второй законы Кирхгофа.

Первый закон Кирхгофа является следствием закона сохранения заряда, согласно которому в любом узле заряд одного знака не может ни накапливаться, ни убывать. Согласно первому закону Кирхгофа алгебраическая сумма токов ветвей, сходящихся в узле, равна нулю:

При этом токи, направленные от узла, следует брать со знаком плюс, а токи, направленные к узлу,- со знаком минус.

Второй закон Кирхгофа является следствием закона сохранения энергии, в силу которого изменение потенциала в замкнутом контуре равно нулю. Изменение потенциала между двумя точками участка цепи характеризуется разностью потенциалов, которую можно измерить вольтметром. В электротехнике разность потенциалов между двумя любыми точками цепи принято называть напряжением. Поэтому согласно второму закону Кирхгофа алгебраическая сумма напряжений всех участков замкнутого контура равна нулю:

При составлении уравнений по второму закону Кирхгофа слагаемые берут со знаком плюс в случае, когда направление обхода контура совпадает с направлением соответственно напряжения, тока или ЭДС, в противном случае берут со знаком минус.

Рекомендуется следующий порядок составления уравнений по законам Кирхгофа: определяют число ветвей, узлов и независимых контуров, устанавливают число независимых уравнений по первому закону Кирхгофа, остальные уравнения составляют по второму закону Кирхгофа.

Для определения неизвестных токов в ветвях необходимо составить уравнения по первому второму закону Кирхгофа, количество которых должно быть равно количеству неизвестных токов. По первому закону Кирхгофа можно составить y-1 независимых уравнений, где y- количество узлов цепи. Использовать все y уравнений невозможно, так как одно из них обязательно будет зависимым.

Количество уравнений, составляемых по второму закону Кирхгофа, должно быть равно количеству независимых контуров. Независимым называют контур, в который входит хотя бы одна новая ветвь.

Если в результате решения этих уравнений получатся отрицательные значения токов, то это означает, что истинные направления токов в ветвях цепи противоположны тем направлениям, для которых составлялись уравнения.

Сложную электрическую цепь, содержащую несколько активных и пассивных элементов и имеющую много узлов и контуров, рассчитать с помощью первого и второго законов Кирхгофа будет довольно трудно, так как будет связано с решением большого количества уравнений. Вводя понятие о контурных токах, можно свести уравнения, составленные по законам Кирхгофа, к системе уравнений, составленных лишь для независимых контуров, т. е. исключить уравнения, составляемые по первому закону Кирхгофа. Благодаря этому удаётся снизить порядок системы уравнений. Под контурными токами понимают условные (расчётные) токи, замыкающиеся в соответствующих контурах. На основе составленных уравнений выписывается матрица вида  Здесь квадратная матрица коэффициентов при неизвестных контурных токах; матрица- столбец неизвестных контурных токов;  матрица- столбец известных контурных ЭДС Диагональные элементы матрицы , называемые контурными сопротивлениями или собственными сопротивлениями контуров, равны сумме сопротивлений всех элементов, входящих в контур. Остальные элементы матрицы  равны сопротивлениям общих ветвей смежных контуров и имеют знак минус. Если какие-либо контуры не имеют общих ветвей, то соответствующие элементы матрицы равны нулю. Решением уравнения  будет , где - матрица, обратная матрице коэффициентов .

 

Мгновенной мощностью называют произведение мгновенного напряжения на входе цепи на мгновенный ток.
Пусть мгновенные напряжение и ток определяются по формулам:

Тогда

(6.23)

Среднее значение мгновенной мощности за период

Из треугольника сопротивлений , а .

 

 

Получим еще одну формулу:

.

Среднее арифметическое значение мощности за период называют активной мощностью и обозначают буквой P.
Эта мощность измеряется в ваттах и характеризует необратимое преобразование электрической энергии в другой вид энергии, например, в тепловую, световую и механическую энергию.
Возьмем реактивный элемент (индуктивность или емкость). Активная мощность в этом элементе , так как напряжение и ток в индуктивности или емкости различаются по фазе на 90^o. В реактивных элементах отсутствуют необратимые потери электрической энергии, не происходит нагрева элементов.
Происходит обратимый процесс в виде обмена электрической энергией между источником и приемником. Для качественной оценки интенсивности обмена энергией вводится понятие реактивной мощности Q.
Преобразуем выражение (6.23):

где - мгновенная мощность в активном сопротивлении;

- мгновенная мощность в реактивном элементе (в индуктивности или в емкости).
Максимальное или амплитудное значение мощности p₂ называется реактивной мощностью

,

где x - реактивное сопротивление (индуктивное или емкостное).
Реактивная мощность, измеряемая в вольтамперах реактивных, расходуется на создание магнитного поля в индуктивности или электрического поля в емкости. Энергия, накопленная в емкости или в индуктивности, периодически возвращается источнику питания.
Амплитудное значение суммарной мощности p = p₁ + p₂ называется полной мощностью.
Полная мощность, измеряемая в вольтамперах, равна произведению действующих значений напряжения и тока:

,

где z - полное сопротивление цепи.
Полная мощность характеризует предельные возможности источника энергии. В электрической цепи можно использовать часть полной мощности

,

где - коэффициент мощности или "косинус "фи".

Коэффициент мощности является одной из важнейших характеристик электротехнических устройств. Принимают специальные меры к увеличению коэффициента мощности.
Возьмем треугольник сопротивлений и умножим его стороны на квадрат тока в цепи. Получим подобный треугольник мощностей (рис. 6.18).

Из треугольника мощностей получим ряд формул:

, ,

Рис.6.18
, .
При анализе электрических цепей символическим методом используют выражение комплексной мощности, равное произведению комплексного напряжения на сопряженный комплекс тока.
Для цепи, имеющей индуктивный характер (R-L цепи)

,

где
- комплекс напряжения;
- комплекс тока;
- сопряженный комплекс тока;
- сдвиг по фазе между напряжением и током.
, ток как в R-L цепи, напряжение опережает по фазе ток.

Вещественной частью полной комплексной мощности является активная мощность.
Мнимой частью комплексной мощности - реактивная мощность.
Для цепи, имеющей емкостной характер (R-С цепи), . Ток опережает по фазе напряжение.

.

Активная мощность всегда положительна. Реактивная мощность в цепи, имеющей индуктивный характер, - положительна, а в цепи с емкостным характером - отрицательна.

Баланс мощностей.Для схемы на рис. 6.19 запишем уравнение по второму закону Кирхгофа. Умножим левую и правую части уравнения на сопряженный комплекс тока

где - результирующее реактивное сопротивление;
I²- квадрат модуля тока.

где - полная комплексная, активная и реактивная мощности источника питания.

где - активная и реактивная мощности, потребляемые элементами схемы.

Получим уравнение

. (6.24)

Рис. 6.19

Два комплексных числа равны, если равны по отдельности их вещественные и мнимые части, следовательно уравнение (6.24) распадается на два:

. (6.25)

Полученные равенства выражают законы сохранения активных и реактивных мощностей.

Согласованный режим работы электрической цепи.
Согласование нагрузки с источником.

В схеме на рис. 6.20
- полное, активное и реактивное сопротивления источника ЭДС,
- полное, активное и реактивное сопротивления нагрузки.
Активная мощность может выделяться только в активных сопротивлениях цепи переменного тока.
Активная мощность, выделяемая в нагрузке,

. (6.26)

Активная мощность, развиваемая генератором

.
Коэффициент полезного действия для данной схемы:

                         .
Рис. 6.20

Из формулы (6.26) видно, что выделяемая в нагрузке мощность будет максимальной, когда знаменатель минимален. Последнее имеет место при , т.е. при . Это означает, что реактивные сопротивления источника и нагрузки должны быть одинаковы по модулю и иметь разнородный характер. При индуктивном характере реактивного сопротивления источника реактивное сопротивление нагрузки должно быть емкостным и наоборот.

. (6.27)

Установим условие, при котором от источника к нагрузке будет передаваться наибольшая мощность.

.

отсюда .

От источника к нагрузке передается наибольшая мощность, когда

. . (6.28)

Величина наибольшей мощности

.

Режим передачи наибольшей мощности от источника к нагрузке называется согласованным режимом, а подбор сопротивлений согласно равенствам (6.28) - согласованием нагрузки с источником.

В согласованном режиме

.

Половина мощности теряется внутри источника. Поэтому согласованный режим не используется в силовых энергетических цепях. Этот режим используют в информационных цепях, где мощности могут быть малыми, и решающими являются не соображения экономичности передачи сигнала, а максимальная мощность сигнала в нагрузке.

 

 

РАСЧЕТНАЯ ЧАСТЬ

Расчет комплексного входного сопротивления цепи

Вычисляем реактивные сопротивления элементов схемы:

X_L1 = 2p fL₁ = 2p ×70×49×10^–3 = 21,54 Ом;

X_L2 = 2p fL₂ = 2p ×70×43×10^–3 = 18,9 Ом;

X_L3 = 2p fL₃ = 2p ×70×24×10^–3 = 10,55 Ом;

 

Разбиваем схему на три участка по числу токов в ветвях (рис. 2) и рассчитываем комплексные сопротивления каждого участка (ветви).

Рис. 2. Схема замещения заданной цепи с эквивалентными комплексными сопротивлениями

 

Комплексные сопротивления участков цепи:

 Ом;

   = 18,74e ^j31.38º Ом;

Z₂ = R₂+ jX_L2 = 18+ j18,9  Ом;

= 26,1e ^j46,40º Ом;              Ом;

= 17,03e ^{– j49,76º} Ом.

Рассчитываем эквивалентное комплексное сопротивление параллельных ветвей и преобразовываем схему в упрощенный вид, как показано на рис. 3.

Рис. 3. Схема замещения заданной цепи с эквивалентным преобразованием параллельных ветвей

 

 Ом; Ом.

Комплексное входное сопротивление цепи:

Z_Σ = Z₁ + Z₂₃ = 16 + j9,76 + 14,52 – j3,85 = 30,52 + j5,91 Ом;

Z_Σ = z₁×e ^jj  = 31,09e ^j10,96°  Ом.