Интегральное преобразование Лапласа

Преобразова́ние Лапла́са — интегральное преобразование, связывающее функцию  комплексного переменного (изображение) с функцией  действительного переменного (оригинал).

 (8)

 (9)

Данный спектральный метод, как и преобразование Фурье основан на том, что исследуемый сигнал представляется в виде суммы неограниченно большого числа элементарных слагаемых, каждое из которых изменяется во времени по закону

Вместо комплексных экспоненциальные сигналов с чисо мнимыми показателями вводят в рассмотрение экспоненциальные показатели , где p – комплексное число

, получившее название комплексной частоты.

Изображения по Лапласу во всех точках комплексной плоскости являются аналитическими функциями. На практике применяют таблицы соответствия между оригиналами и изображениями.

Интегральное преоб р азование Гильберта

Часто радиоинженер сталкивается с радиосигналами, получаемые в результате одновременной модуляции амплитуды и частоты(или фазы) по очень сложному закону.

Предполагая, что заданный сигнал представляет собой узкополосный процесс, спектральные составляющие сигнала группируются в относительно узкой по сравнению с центральной частотой  частотой.

 (10)

При этом возникает неоднозначность из-за того что,  и  изменяются по различным законам.

Неоднозначности можно избежать, при представлении  и с помощью следующих соотношений:

 и , (11)

где  новая функция, связанная с исходной соотношениями

 (12)

Эти соотношения называют преобразованиями Гильберта, а функция  - функция сопряженная (по Гильберту) исходной функции

В точках, в которых =0, кривые  и  имеют общие касательные при этом в точках, где  обращается в 0, функция должна принимать значения, близкие к амплитудным, тогда можно рассматривать как простейшую огибающую функции

.

Преобразование Гильберта для любого произвольного сигнала представляет собой идеальный широкополосный фазовращатель, который осуществляет поворот начальных фаз всех частотных составляющих сигнала на угол, равный 90^о (сдвиг на /2). Применение преобразования Гильберта позволяет выполнять квадратурную модуляцию сигналов, в каждой текущей координате модулированных сигналов производить определение огибающей и мгновенной фазы и частоты сигналов, выполнять анализ систем обработки сигналов.

Аналитический сигнал

Аналитический сигнал – это один из способов комплексного представления сигнала, который применяется при анализе сигналов и систем их обработки. Он позволяет ввести в анализ понятия огибающей и мгновенной частоты сигнала.

В современной радиотехнике представление колебаний в комплексной форме распространено на негорманические колебания. Если задан физический сигнал в виде действительной функции , то соответствующий ему комплексный сигнал представляется в форме:

 (13)

где  функция, сопряженная по Гильберту сигналу

Особенностью определенного комплексного сигнала заключается в том, что его спектральная плотность:

 (14)

и содержит только положительные частоты, тогда

Значит, если узкополосному сигналу  соответствует спектральная плотность , модуль которой изображен на Рис 3 штриховой линией, то сигналу  соответствует спектральная плотность , модуль которой изображен сплошной линией.

 - спектральная плотность исходного (физического ) сигнала

Комплексный сигнал, определяемый выражениями (13 ) и (14) называется аналитическим сигналом.

Рис 3. Соотношения между спектрами физического и аналитических сигналов.