Интегральное преобразование Фурье

Вопрос 1.

Основные понятия

1. Сигнал любой формы можно разложить на синусоидальные составляющие с различными частотами, кратными целому числу. Совокупность этих составляющих называется спектром, а сумма этих составляющих формирует значение функции во временной области.

2. Разложение в ряд Фурье – это разложение периодической функции на синусоидальные составляющие с различными частотами. Периодический сигнал s(t) с периодом Т и основной угловой частотой  ( ) при помощи коэффициентов Фурье можно представить в виде:

Где  и  действительные коэффициенты Фурье функции f(t), которые определяются следующим образом:

 (k=0,1,2….)  (k=0,1,2….)

Если функция s(t) – четная, то , если нечетная. То

3. В отличии от разложения в ряд Фурье с действительными коэффициентами при разложении в ряд Фурье с комплексными коэффициентами вычисления значительно упрощаются. Разложение в комплексный ряд Фурье периодического сигнала s(t) с основной угловой частотой  ( ) имеет вид:

 (1)

Комплексные коэфффициенты Фурье Сk сигнала s(t) вычисляются следующим образом:

 (k=0,1,2….) (2)

Подставив 1.2 в 1.1 , получим:

 0<t<T (3)

4. Если увеличивать количество гармоник, то точность приближения функции рядом Фурье повышается.

5. Под непрерывными кусочно-гладкими сигналами будем понимать сигнал, функция которого непрерывна в точке, причем возможно допустить устранимые разрывы первого рода. Область определения функции задается в каждом интервале, но она непрерывна (Пример: Фазоманипулированный сигнал).

Рис. 1. Разложение сигнала

Интегральное преобразование Фурье

Дискретное представление сигналов удобно для решения задач обработки сигналов, так как каждый сигнал может быть представлен конечным числом компонентов.

Однако в теоретических исследованиях, особенно при рассмотрении сигналов на бесконечном интервале, с отличной от периодического закона распределения, такое представление либо недостаточно, либо не возможно.

Но гармонический анализ периодических сигналов можно распространить на непериодические сигналы. При этом число гармонических составляющих, входящих в ряд Фурье, будет бесконечно большим, так как при основная частота функции . Т.о расстояние между спектральными линиями (Рис 2) равное основной частоте  становиться бесконечно малы, а спектр – сплошным.

Рис 2.

Поэтому в выражении (1.3) можно заменить  на ,  на текущую частоту а операцию суммирования заменить интегрированием:

 (4)

Внутренний интеграл является функцией  

 (5)

называется спектральной плотностью или спектральной х а рактеристикой. В общем случае, когда t1 и t2 не уточнены, спектральная плотность записывается в форме:

 (6)

Выражение (6) называют прямое преобразование Фурье

Подставляя (6) в (4) получаем

 (7)

Выражение (7) называют обратным преобразование Фурье.