Проблема существования в математике

 êîíöå XIX è íà÷àëå ÕÕ âåêà èññëåäîâàíèÿ ïî âîïðîñàì îáîñíîâàíèÿ ìàòåìàòèêè èìåëè ïðåèìóùåñòâåííî ïðåîäîëåíèå ñëåäóþùèõ îñíîâíûõ òðóäíîñòåé.

Òåîðèÿ ìíîæåñòâ ñòàëà â ýòî âðåìÿ ôóíäàìåíòîì ìàòåìàòèêè, à å¸ ìåòîäû — îñíîâîé ìåòîäîâ âåäóùèõ ìàòåìàòè÷åñêèõ äèñöèïëèí. Âìåñòå ñ òåì ñàìà òåîðèÿ ìíîæåñòâ îêàçàëàñü íåîáîñíîâàííîé â ðÿäå ðåøàþùèõ ïóíêòîâ (ãèïîòåçà êîíòèíóóìà, ïðîáëåìà óïîðÿäî÷èâàíèÿ).

 òåîðèè ìíîæåñòâ áûëè îáíàðóæåíû ïàðàäîêñû (àíòèíîìèè), óñòðàíåíèå êîòîðûõ — êàê ïîêàçàëè èññëåäîâàíèÿ ìàòåìàòèêîâ è ëîãèêîâ, íà÷èíàÿ ñ Ðàññåëà — îêàçàëîñü îòíþäü íå ïðîñòûì äåëîì.

Ïàðàäîêñû òåîðèè ìíîæåñòâ îêàçàëèñü èìåþùèìè íå òîëüêî ìàòåìàòè÷åñêóþ, íî è ëîãè÷åñêóþ ïðèðîäó; â ýòîé ñâÿçè åñòåñòâåííî âîçíèê âîïðîñ î ñðåäñòâàõ ëîãèêè, äîïóñòèìûõ â ìàòåìàòèêå.

Ýòè òðóäíîñòè ïîñòàâèëè ïåðåä ìàòåìàòèêàìè ïðîáëåìó ïîíèìàíèÿ ñóùåñòâîâàíèÿ â ïðèìåíåíèè ê ìàòåìàòè÷åñêèì îáúåêòàì.

×òîáû ëó÷øå óÿñíèòü ñìûñë ïðîáëåìû ñóùåñòâîâàíèÿ, óñòàíîâè ñíà÷àëà ðàçëè÷èå ìåæäó òàê íàçûâàåìûìè ýôôåêòèâíûìè è íåýôôåêòèâíûìè äîêàçàòåëüñòâàìè ñóùåñòâîâàíèÿ. Ýòè ðàçëè÷èÿ ìû ïîñòàðàåìñÿ îïèñàòü ñîîòâåòñòâåííî ïðåäñòàâëåíèÿì, ãîñïîäñòâîâàâøèõ â ìàòåìàòèêå ïðèìåðíî äî êîíöà 20-õ — íà÷àëà 40-õ ãîäîâ ÕÕ âåêà.

Äîêàæåì, ÷òî êàêîâû áû íè áûëè íàòóðàëüíûå ÷èñëà Ð₁, …, Ð_ï, ñóùåñòâóåò íàòóðàëüíîå ÷èñëî Ð, âçàèìíî ïðîñòîå ñ êàæäûì èç ýòèõ ÷èñåë. Ðàññìîòðèì ÷èñëî Ð=Ð₁*…*Ð_ï+1; ïðè äåëåíèè íà ëþáîå èç ÷èñåë Ð₁, …, Ð_ï ýòî ÷èñëî äàåò â îñòàòêå 1. Ñëåäîâàòåëüíî, îíî âçàèìíî ïðîñòîå ñ êàæäûì èç ÷èñåë Ð₁, …, Ð_ï. Èòàê, ÷èñëî Ð ñóùåñòâóåò.

Ýòî äîêàçàòåëüñòâî ýôôåêòèâíî. Ìû äîêàçàëè ñóùåñòâîâàíèå ÷èñëà Ð òåì, ÷òî ïîêàçàëè, êàê ñ ïîìîùüþ îáû÷íûõ àðèôìåòè÷åñêèõ äåéñòâèé íàéòè ýòî ÷èñëî. Ê ÷èñëó ýôôåêòèâíûõ äîêàçàòåëüñòâ îòíîñÿòñÿ òàêæå äîêàçàòåëüñòâà ôîðìóë äëÿ ðåøåíèÿ àëãåáðàè÷åñêèõ óðàâíåíèé òðåòüåé è ÷åòâåðòîé ñòåïåíåé, äîêàçàòåëüñòâî ñóùåñòâîâàíèÿ îïðåäåëåííîãî èíòåãðàëà îò íåïðåðûâíîé ôóíêöèè è ò. ï. Ïðè ýòîì, åñòåñòâåííî, ñ÷èòàþòñÿ îáîñíîâàííûìè ñîîòâåòñòâóþùèå àëãåáðàè÷åñêèå îïåðàöèè, àðèôìåòèêà äåéñòâèòåëüíûõ ÷èñåë è îïåðàöèÿ ïåðåõîäà ê ïðåäåëó.

Âîîáùå âñÿêîå ýôôåêòèâíîå äîêàçàòåëüñòâî òåì è õàðàêòåðèçóåòñÿ, ÷òî ñ ïîìîùüþ òàê èëè èíà÷å îáîñíîâàííûõ ïîñûëîê îíî ïîçâîëÿåò èíäèâèäóàëüíî îõàðàêòåðèçîâàòü (âû÷èñëèòü, ïîñòðîèòü è ò. ï.) îáúåêò, ñóùåñòâîâàíèå êîòîðîãî äîêàçûâàþò.

Ðàññìîòðèì òåïåðü äðóãîé ïðèìåð. ÷èñëî íàçûâàåòñÿ àëãåáðàè÷åñêèì, åñëè îíî ÿâëÿåòñÿ êîðíåì êàêîãî-ëèáî àëãåáðàè÷åñêîãî óðàâíåíèÿ ñ öåëûìè êîýôôèöèåíòàìè. Íàïðèìåð, ÷èñëî  àëãåáðàè÷åñêîå, ò. ê. îíî ÿâëÿåòñÿ êîðíåì óðàâíåíèÿ õ²–2=0. Íàïðîòèâ, ÷èñëî, íå óäîâëåòâîðÿþùåå íèêàêîìó àëãåáðàè÷åñêîìó óðàâíåíèþ ñ öåëûìè êîýôôèöèåíòàìè, íàçûâàåòñÿ òðàíñöåíäåíòíûì ÷èñëîì. Äîêàæåì, ñëåäóÿ Êàíòîðó, ñóùåñòâîâàíèå òðàíñöåíäåíòíûõ ÷èñåë. Èçâåñòíî, ÷òî ìíîæåñòâî âñåõ àëãåáðàè÷åñêèõ ÷èñåë ñ÷¸òíî, â òî âðåìÿ êàê ìíîæåñòâî âñåõ äåéñòâèòåëüíûõ ÷èñåë íåñ÷¸òíî. Åñëè áû òðàíñöåíäåíòíûå ÷èñëà íå ñóùåñòâîâàëè, êàæäîå äåéñòâèòåëüíîå ÷èñëî áûëî áû àëãåáðàè÷åñêèì è, ñëåäîâàòåëüíî, ìíîæåñòâî âñåõ äåéñòâèòåëüíûõ ÷èñåë áûëî áû ñ÷åòíûì. ÷òîáû èçáåæàòü ïðîòèâîðå÷èÿ îñòàåòñÿ ïðèíÿòü, ÷òî òðàíñöåíäåíòíûå ÷èñëà ñóùåñòâóþò, õîòü äîêàçàòåëüñòâî íå äàåò íàì íè îäíîãî ïðèìåðà òðàíñöåíäåíòíîãî ÷èñëà. Ýòî ïðèìåð íåýôôåêòèâíîãî äîêàçàòåëüñòâà.  íåýôôåêòèâíûõ äîêàçàòåëüñòâàõ ñóùåñòâîâàíèÿ (îñíîâàííûå, íàïðèìåð, íà ïðèíöèïå èñêëþ÷åííîãî òðåòüåãî) íå äàåòñÿ íèêàêîãî ïðèìåðà îáúåêòîâ, ñóùåñòâîâàíèå êîòîðûõ äîêàçûâàåòñÿ.

Ïàðàäîêñû òåîðèè ìíîæåñòâ ÿâèëèñü äîïîëíèòåëüíûì (íî íå åäèíñòâåííûì) îñíîâàíèåì ïîñòàâèòü ïîä ñîìíåíèå íå òîëüêî ýôôåêòèâíûå äîêàçàòåëüñòâà ñóùåñòâîâàíèÿ, áàçèðóþùèåñÿ íà àêñèîìå Öåðìåëî, íî è ëþáûå íåýôôåêòèâíûå äîêàçàòåëüñòâà ñóùåñòâîâàíèÿ ìàòåìàòè÷åñêèõ îáúåêòîâ. Ìîæíî ëè, ñïðàøèâàëè ìàòåìàòèêè, âûñêàçûâàâøèå ýòè ñîìíåíèÿ, ñ÷èòàòü ñóùåñòâóþùèì ìàòåìàòè÷åñêèé îáúåêò, êîòîðûé ìû íå óìååì ïîñòðîèòü, ìíîæåñòâî, íå îäíîãî ýëåìåíòà êîòîðîãî ìû íå ñóìååì óêàçàòü?

Êàêîå çíà÷åíèå èìåëè ñîìíåíèÿ â ïðàâîìåðíîñòè íåýôôåêòèâíûõ äîêàçàòåëüñòâ ñóùåñòâîâàíèÿ äëÿ ìàòåìàòèêè íà÷àëà ÕÕ âåêà? Î÷åíü áîëüøîå! Îíè, ïî ñóòè, ñòàâèëè ïîä ñîìíåíèå êîíöåïöèþ Êàíòîðà, òåîðåòèêî-ìíîæåñòâåííîå îáîñíîâàíèå ìàòåìàòèêè è ðÿä êîíêðåòíûõ ðåçóëüòàòîâ êëàññè÷åñêèõ ìàòåìàòè÷åñêèõ òåîðèé.

Íîâîå â ïîñòàíîâêå ïðîáëåìû ñóùåñòâîâàíèÿ â ìàòåìàòèêå íà÷àëà ÕÕ âåêà ñîñòîÿëî â òîì, ÷òî ýòà ïðîáëåìà ìíîãî øèðå è ãëóáæå, ÷åì ðàíüøå, çàõâàòèëà îñíîâíûå âîïðîñû îáîñíîâàíèÿ ìàòåìàòèêè è ëîãèêè è îêàçàëàñü òåñíî ñâÿçàííîé è ñ ôèëîñîôèåé.

Список литературы.

È. Í. Áóðîâà. Ïàðàäîêñû òåîðèè ìíîæåñòâ è äèàëåêòèê.

À. Í. Êîëìîãîðîâ. Ìàòåìàòèêà â å¸ èñòîðè÷åñêîì ðàçâèòèè.

Ìàòåìàòè÷åñêàÿ ýíöèêëîïåäèÿ.

Â. Í. Ìîëîäøèé. Î÷åðêè ïî ôèëîñîôñêèì âîïðîñàì ìàòåìàòèêè.

Ã. È. Ðóçàâèí. Î ïðèðîäå ìàòåìàòè÷åñêîãî çíàíèÿ.

Ôèëîñîôñêèå ïðîáëåìû åñòåñòâîçíàíèÿ. Ïîä ðåä. Ñ. Ò. Ìèëþõèíà.

È. Ç. Öåõìèñòðî. Äèàëåêòèêà ìíîæåñòâåííîãî è åäèíîãî.

Ñ. À. ßíîâñêàÿ. Ìåòîäîëîãè÷åñêèå ïðîáëåìû íàóêè.