Три знаменитых задачи древности 9 страница

Îñíîâíûì ïîíÿòèåì îáùåãî ó÷åíèÿ î ìíîæåñòâàõ Ã. Êàíòîðà ÿâëÿåòñÿ ïîíÿòèå áåñêîíå÷íîãî ìíîæåñòâà (ïîíÿòèå àêòóàëüíîé áåñêîíå÷íîñòè). “Ïîä ìíîãîîáðàçèåì, èëè ìíîæåñòâîì,— ïèñàë Ã. Êàíòîð,— ÿ ïîíèìàþ âîîáùå âñÿêîå ìíîãîå, êîòîðîå ìîæíî ìûñëèòü êàê åäèíîå, ò. å. âñÿêóþ ñîâîêóïíîñòü îïðåäåëåííûõ ýëåìåíòîâ, êîòîðàÿ ìîæåò áûòü ñâÿçàíà â îäíî öåëîå ñ ïîìîùüþ íåêîòîðîãî çàêîíà.”

Êàíòîð íàçûâàë ìíîæåñòâî Ð îïðåäåëåííûì, åñëè îòíîñèòåëüíî ëþáîãî îáúåêòà ìîæíî ñêàçàòü, ïðèíàäëåæèò îí ìíîæåñòâó Ð èëè íå ïðèíàäëåæèò.

Ïîíÿòèå çàêîíà Ã. Êàíòîð ñ÷èòàë èñõîäíûì, íåîïðåäåëèìûì. Âìåñòå ñ òåì, â åãî êîíöåïöèè ïîíÿòèå çàêîíà èãðàåò ôóíäàìåíòàëüíóþ ðîëü. Òàê êàê ñîãëàñíî çàêîíó ýëåìåíòû íåêîòîðîé ñîâîêóïíîñòè ìîãóò áûòü ñâÿçàíû â îäíî öåëîå, òî çàêîí îáåñïå÷èâàåò ñóùåñòâîâàíèå ìíîæåñòâà. Âåðíî è îáðàòíîå: åñëè ìíîæåñòâî ñóùåñòâóåò, òî ìîæíî äàòü çàêîí, îáåñïå÷èâàþùèé åãî ñóùåñòâîâàíèå.

Îïåðàòèâíûìè ïîíÿòèÿìè îáùåãî ó÷åíèÿ î ìíîæåñòâàõ Ã. Êàíòîðà ÿâëÿþòñÿ ïîíÿòèÿ âçàèìíî îäíîçíà÷íîãî ñîîòâåòñòâèÿ ìîùíîñòè è êîëè÷åñòâà ìíîæåñòâà.

Êàíòîð îïðåäåëèë ìîùíîñòü — òåïåðü ÷àñòî ãîâîðÿò: “êîëè÷åñòâåííîå ÷èñëî” — êàê ðåçóëüòàò àáñòðàêöèè îò ñîäåðæàíèÿ è ïîðÿäêà ýëåìåíòîâ ìíîæåñòâà.

Îí íàçûâàë äâà ìíîæåñòâà ðàâíîìîùíûìè è èìåþùèìè îäèíàêîâóþ ìîùíîñòü, åñëè ìåæäó èõ ýëåìåíòàìè âîçìîæíî óñòàíîâèòü âçàèìíî îäíîçíà÷íîå ñîîòâåòñòâèå.

Äëÿ ðàçâèòèÿ îáùåãî ó÷åíèÿ î ìíîæåñòâàõ íàèáîëåå ñóùåñòâåííûì ÿâèëîñü äðóãîå îòêðûòèå Ã. Êàíòîðà — äîêàçàòåëüñòâî ñóùåñòâîâàíèÿ áåñêîíå÷íûõ ìíîæåñòâ ñ ðàçëè÷íûìè ìîùíîñòÿìè.

Åñëè ìíîæåñòâî êîíå÷íî, ïîíÿòèå ìîùíîñòè ñîâïàäàåò ñ ïîíÿòèåì ÷èñëà åãî ýëåìåíòîâ è ìîæåò áûòü âûðàæåíî êîëè÷åñòâåííûì íàòóðàëüíûì ÷èñëîì.  ñëó÷àÿõ áåñêîíå÷íûõ ìíîæåñòâ íåëüçÿ ãîâîðèòü î ÷èñëå èõ ýëåìåíòîâ, íî êàæäîìó èç òàêèõ ìíîæåñòâ ìîæíî ïðèïèñàòü îïðåäåëåííóþ ìîùíîñòü. Ïðèíÿòî îòíîñèòü êàæäîìó êëàññó ìíîæåñòâ íåêîòîðûé ñèìâîë ìîùíîñòè. Òàê  — ñèìâîë ìîùíîñòè ñ÷åòíîãî ìíîæåñòâà, ñ — ñèìâîë ìîùíîñòè êîíòèíóóìà, 2^ò — ñèìâîë ìîùíîñòè ìíîæåñòâà âñåõ ïîäìíîæåñòâ ìíîæåñòâà, ìîùíîñòü êîòîðîãî åñòü ò. Êàæäûé òàêîé ñèìâîë Êàíòîð íàçâàë êàðäèíàëüíûì òðàíñôèíèòíûì ÷èñëîì.

2. Трудности построения теории множеств.
Критика концепции Г. Кантора

Êàíòîð ïðåäïðèíÿë ïîïûòêó ðàçâèòü àðèôìåòèêó êàðäèíàëüíûõ òðàíñôèíèòíûõ ÷èñåë. Îí äîêàçàë ìíîãèå àðèôìåòè÷åñêèå ñîîòíîøåíèÿ, ñïðàâåäëèâûå äëÿ ìîùíîñòåé êîíêðåòíûõ ìíîæåñòâ — ñ÷åòíûõ è ìîùíîñòè êîíòèíóóìà. Íàïðèìåð, åñëè ï — ëþáîå íàòóðàëüíîå ÷èñëî, òî:

Íî êîãäà êàíòîð ïîïûòàëñÿ îáîáùèòü ïîëó÷åííûå èì àðèôìåòè÷åñêèå ñîîòíîøåíèÿ íà ëþáûå êàðäèíàëüíûå òðàíñôèíèòíûå ÷èñëà, òî âñòðåòèëñÿ ñ ñåðüåçíûìè òðóäíîñòÿìè.

Ïóñòü Ì è N — êàêèå óãîäíî áåñêîíå÷íûå ìíîæåñòâà, ò è ï — ñîîòâåòñòâóþùèå èì êàðäèíàëüíûå òðàíñôèíèòíûå ÷èñëà. Ìîæíî ëè óòâåðæäàòü, ÷òî ýòè ÷èñëà âñåãäà ìîãóò áûòü ñâÿçàíû îäíèì è òîëüêî îäíèì èç çíàêîâ =, >, <? Äëÿ íàòóðàëüíûõ ÷èñåë ò è ï ýòî óòâåðæäåíèå ñïðàâåäëèâî, äëÿ êàðäèíàëüíûõ òðàíñôèíèòíûõ ÷èñåë ñïðàâåäëèâîñòü åãî íå î÷åâèäíà. Êàíòîð ýòó ïðîáëåìó íå ðåøèë, å¸ íàçâàëè ïðîáëåìîé òðèõîòîìèè. Êàíòîð íå ñìîã òàêæå äîêàçàòü (èëè îïðîâåðãíóòü), ÷òî äëÿ ëþáûõ êàðäèíàëüíûõ òðàíñôèíèòíûõ ÷èñåë ñïðàâåäëèâû ñîîòíîøåíèÿ:

ò+ï=òï;

ò=ò²;

åñëè ò²=ï², òî ò=ï;

åñëè ò<ï è p<q, òî m+p<n+q;

åñëè ò<ï è p<q, òî mp<nq.

À. Òàðñêèé äîêàçàë, ÷òî êàæäîå èç ýòèõ ñîîòíîøåíèé ýêâèâàëåíòíî òðèõîòîìèè.

Èçâåñòíî, ÷òî x₀<c. Ñóùåñòâóåò ëè ìíîæåñòâî Ì, ìîùíîñòü êîòîðîãî ò óäîâëåòâîðÿåò íåðàâåíñòâàì:

õ₀<m<c?

Ýòó ïðîáëåìó Êàíòîð òàêæå íå ðåøèë. Îí âûñêàçàë ïðåäïîëîæåíèå, ÷òî òàêîå ìíîæåñòâî Ì íå ñóùåñòâóåò. Ïðåäïîëîæåíèå Êàíòîðà íàçûâàëîñü ãèïîòåçîé êîíòèíóóìà; îíî ýêâèâàëåíòíî óòâåðæäåíèþ, ÷òî âñÿêîå íå÷åòíîå ìíîæåñòâî äåéñòâèòåëüíûõ ÷èñåë èìååò ìîùíîñòü êîíòèíóóìà.

Ïîñëå ïóáëèêàöèè ïåðâûõ ðàáîò Ã. Êàíòîðà, â êîòîðûõ îí èçëîæèë íà÷àëà ó÷åíèÿ î òðàíñôèíèòíûõ ÷èñëàõ (êîëè÷åñòâåííûõ è ïîðÿäêîâûõ), ìàòåìàòèêè, ëîãèêè, ôèëîñîôû è îñîáåííî òåîëîãè îòíåñëèñü ê åãî èäåÿì âåñüìà ñäåðæàííî. Íåêîòîðûå èç íèõ âûñòóïèëè ñ îòêðûòîé êðèòèêîé îñíîâíîãî ïîíÿòèÿ ó÷åíèÿ Êàíòîðà — ïîíÿòèÿ àêòóàëüíîé áåñêîíå÷íîñòè. Êàíòîð îòâåòèë íà ýòè âûñòóïëåíèÿ â íåñêîëüêèõ ñòàòüÿõ è â ïåðåïèñêå, êîòîðóþ âïîñëåäñòâèè ÷àñòè÷íî îïóáëèêîâàë.

Íàèáîëåå ñåðüåçíûì ïðîòèâíèêîì êîíöåïöèè Êàíòîðà áûë Ë. Êðîíåêåð. Îí ñ÷èòàë, ÷òî äåéñòâèòåëüíî ñóùåñòâóþùèìè, ðåàëüíûìè ìîæíî ïðèçíàòü ëèøü íàòóðàëüíûå ÷èñëà, âñëåäñòâèå ÷åãî îíè ÿâëÿþòñÿ åäèíñòâåííûì îáúåêòîì ÷èñòîé ìàòåìàòèêè. Êðîíåêåð óòâåðæäàë, ÷òî âñå òåîðåìû ìàòåìàòè÷åñêîãî àíàëèçà ïðàâîìåðíû ëèøü ïîñòîëüêó, ïîñêîëüêó èõ ìîæíî èñòîëêîâàòü êàê îïèñàíèÿ çàêîíîâ, ãîñïîäñòâóþùèõ â îáëàñòè íàòóðàëüíûõ ÷èñåë. Ñ ýòîé òî÷êè çðåíèÿ, ïèñàë Êàíòîð, èçâåñòíàÿ ðåàëüíîñòü ïðèïèñûâàåòñÿ òàêæå ðàöèîíàëüíûì ÷èñëàì, ïîñêîëüêó îíè “íåïîñðåäñòâåííî âûòåêàþò” èç àðèôìåòèêè íàòóðàëüíûõ ÷èñåë. Êðîíåêåð òðàêòîâàë èððàöèîíàëüíûå ÷èñëà êàê óäîáíûå ñèìâîëû äëÿ îïèñàíèÿ åäèíûì ñïîñîáîì ñâîéñòâ ãðóïï íàòóðàëüíûõ ÷èñåë; ïîíÿòèå àêòóàëüíîé áåñêîíå÷íîñòè îí ïîëíîñòüþ îòðèöàë. Ñëåäóÿ ýòèì èäåÿì, Êðîíåêåð îïóáëèêîâàë èññëåäîâàíèå, â êîòîðîì íàìåòèë êîíòóðû íåêîòîðûõ “âñïîìîãàòåëüíûõ òåîðèé”, ïî åãî ìíåíèþ ïîçâîëÿþùèõ îñâîáîäèòü ÷èñòóþ ìàòåìàòèêó îò èððàöèîíàëüíûõ ÷èñåë.