Предполагается, что прямоугольная волна действует бесконечно долго.

Теоретические основы метода Акульшина

 

Применение для расчета переходных процессов в автоматических системах регулирования (АСР) метода обратного преобразования Лапласа, основанного на разложении изображения на сумму простых дробей, удобно для систем регулирования, не содержащих запаздывания. К сожалению, большинство промышленных систем характеризуется наличием запаздывания.

Запишем передаточную функцию разомкнутой АСР с запаздыванием:

. (1)

Характеристический полином замкнутой АСР в этом случае является квазиполиномом:

. (2)

Как известно, квазиполином вида (2) имеет бесконечное, хотя и счетное множество корней, а разложение дроби на сумму простых приводит к бесконечному ряду. Помимо самой проблемы вычисления корней квазиполинома возникает задача усечения бесконечного ряда без потери точности вычислений.

В замкнутых АСР, содержащих запаздывание, для расчета переходных процессов целесообразно применять частотные методы, не требующие вычисления корней характеристического полинома (квазиполинома).

Одним из таких методов является метод Акульшина [1,2,3].

Суть метода Акульшина заключается в следующем. Вместо скачкообразного воздействия амплитуды (рис. 1) на вход системы подается сигнал в виде прямоугольной волны с периодом Т (рис. 2).

 

 

Предполагается, что прямоугольная волна действует бесконечно долго.

Установившаяся реакция системы на входной сигнал также является периодическим сигналом и представляет собой последовательность откликов на каждый из входных импульсов (рис. 3 и 4).

 

 

Рис. 2. Последовательность прямоугольных импульсов

 

 

 

 

 

Предположим, что период прямоугольной волны Т достаточно велик и удовлетворяет следующему условию:

, (3)

где – время полного затухания переходного процесса в системе. Это значит, что, например, к моменту времени реакция АСР на предыдущий импульс полностью затухает (рис. 3, 4). Другими словами, в момент времени в системе устанавливаются нулевые начальные условия.

В таком случае реакция АСР на прямоугольную волну представляет собой последовательность чередующихся по знаку и сдвинутых по времени на переходных функций (реакций на положительные и отрицательные скачки импульсов). Поэтому для интервала времени можно записать

, (4)

где – переходная характеристика системы.

Таким образом, на интервале времени реакция АСР на прямоугольную волну является ее кривой разгона, то есть совпадает с реакцией на скачкообразное воздействие с амплитудой . Это обстоятельство лежит в основе расчета переходной кривой. Применение в качестве входного периодического прямоугольного сигнала позволяет использовать для расчетов теорию рядов Фурье и частотные характеристики системы.

Разложим прямоугольную волну в ряд Фурье. В результате получим ряд, содержащий нечетные гармоники:

 

(5)

где

– частота колебаний входных прямоугольных импульсов,

– постоянная составляющая водного сигнала.

Так как система линейна, то для нее справедлив принцип суперпозиции – реакция на сумму воздействий (5) равна сумме реакций на каждое воздействие в отдельности:

. (6)

В формуле (6) – реакция на постоянную составляющую, а – реакция на гармонику в разложении (5).

Каждая гармоника входного сигнала частоты и амплитуды сигнала (5)

, (7)

проходя через линейное звено с амплитудно-фазовой характеристикой

,

усиливается по амплитуде в раз и получает фазовый сдвиг . Для входного сигнала, определяемого формулой (5), можно записать:

,

, (8)

………………………………………………..

 

.

 

Постоянная составляющая выходного сигнала определяется по формуле

 

, (9)

где

– коэффициент усиления, значение передаточной функции системы, амплитудно – частотной и вещественно –частотной характеристик, соответственно, при нулевом значении аргумента.

Подставляя в формулу (6) выражения (8) и (9) получим выражение для выходного сигнала

 

= (10).

 

Формула (10) является основной для расчета переходного процесса.

В некоторых случаях удобнее использовать другую форму записи уравнения (10). Для этого преобразуем следующим образом выражение под знаком суммы

 

(11)

 

Переходя в (11) к вещественной и мнимой частотным характеристикам

 

=

, (12)

получим

 

. (13)

 

Подставляя теперь последнее выражение в формулу (10), получим другое выражение для переходной кривой

 

. (14)

При практических расчетах в формулах (10) и (14) ограничиваются конечным числом гармоник. В результате формулы принимают вид:

 

(15)

и

, (16)

соответственно.

Практика показала, что во многих случаях достаточно пятидесяти гармоник

. (17)

Для построения переходного процесса, как правило, достаточно 24 точек, поэтому при расчетах шаг по времени выбирается по формуле

. (18)

Количество точек, естественно, может быть и увеличено.